Explícito de Riemann asignaciones

Question

Típico de las pruebas del mapeo de Riemann teorema no son muy explícitos (uno maximiza funcional, o algo equivalente, tales como el uso del principio de Dirichlet).

El teorema establece que si $U$ se conecta simplemente a abrir subconjunto del plano, entonces no es un biholomorphism entre el $U$ y la unidad de disco. Me imagino que, debido a la naturaleza generalidad de los resultados, no explícita de la construcción se puede esperar en general. Sin embargo, en muchos casos concretos, yo creo que una construcción "a mano" debería ser posible; y en las aplicaciones (para problemas en la ingeniería, por ejemplo), este sería de casi un requisito.

¿Sabe usted de este tipo de construcción, o de una referencia donde estas construcciones se discuten? (La respuesta puede, por supuesto, sólo se aplican a ciertas familias de bloques abiertos.)

Yo sé de una muy buena referencia: "Schwarz-Christoffel de Asignación", por Tobin A. Driscoll y Lloyd N. Trefethen, Cambridge Monografías Aplicadas y Matemáticas Computacionales (n. 8). El de Schwarz-Christoffel Asignaciones explícitamente nos dan biholomorphisms entre la mitad superior del plano y el interior de polígonos simples. Yo estoy esperando para ejemplos adicionales.

Answer 1

Esta es una pregunta muy grande, y un montón de trabajo ha sido realizado en hacer el mapeo de Riemann teorema de más explícito. Tengo varios comentarios:

1. Böttcher coordenadas proporcionar explícito de Riemann mapas para el Fatou componente que contiene un superattracting punto fijo para un racional mapa. En particular, un mapa de Riemann para el complemento del llenos de Julia conjunto de un polinomio cuadrático con conectado Julia puede ser calculada de manera bastante explícita. Del mismo modo, el mapa de Riemann para el complemento del conjunto de Mandelbrot es bastante explícitamente computable.

2. Thurston y otros han hecho un hermoso trabajo que implica la aproximación arbitraria de Riemann mapas utilizando círculo de envases. Ver Círculo de Embalaje: Un Matemático Cuento por Stephenson.

3. En cierta medida, la construcción de un mapa de Riemann es simplemente una cuestión de la construcción de una función armónica en un dominio dado (así como la asociada a la armónica conjugada), sujeto a ciertas condiciones de contorno. La solución a estos problemas es un gran tema de investigación en el estudio de la PDE, aunque la conexión con los mapas de Riemann es rara vez se menciona.

Edit: por cierto, si yo quería construir un mapa de Riemann explícitamente en un dominio dado,$D$, me gustaría utilizar el siguiente PDE del enfoque. En primer lugar, traducir el dominio que contiene el origen. A continuación, utilice un método numérico para la construcción de una armónica función de $F$ satisfactorio $$ F(z) \;=\; -\log |z| $$ para todos los $z\in\partial D$, y vamos a $$ R(z) = |z|e^{F(z)}. $$ Entonces $R(0) = 0$, $R|_{\partial D} \equiv 1$, y $\log R$ es armónico, por lo $R$ es la componente radial (es decir, el módulo) de un mapa de Riemann en $D$. La componente angular puede ahora ser determinada por el hecho de que sus curvas de nivel son perpendiculares a las curvas de nivel de $R$, y tienen el mismo espaciado angular cerca del origen.