El cuadrado de una Serie Infinita de Expansión De e^x

Question

$Fact$:$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x^0}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}=e^x$$ así $$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots+\frac{1}{n!}=e$$ también $$\lim\limits_{n \to \infty}e^2=\frac{2^0}{0!}+\frac{2}{1!}+\frac{4}{2!}+\frac{8}{3!}+\dots+\frac{2^n}{n!}$$ puedo decir con seguridad... $$L.H.S=(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots)^2=\frac{2^0}{0!}+\frac{2}{2!}+\frac{4}{2!}+\frac{8}{3!}+\dots=R.H.S$$ si sí, ¿cómo demostrar L. H. S=R. H. S (sin usar el anterior hecho)? No es un problema de los libros de texto sólo estaba pensando acerca de ello.

Answer 1

Sólo uso el algebraicas hecho de que $(e^x)^2 = e^{2x}$, y el sustituto de la que en su primera expansión, por una mancha de la manera de hacerlo.

La siguiente mejor opción es distribuir todo, y tratar de recoger los términos semejantes. Esto es bastante tedioso, en mi opinión, pero después de los primeros términos que usted podría ser capaz de ver cómo funciona.

$$(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}+....)(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}+....)=$$ $$1(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}+....)+1(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}+....) + \frac{1}{2}(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}+....)+...$$

Ahora sólo mirar en esto hasta que usted vea cómo el grupo de los términos, y seguir el patrón que emerge. Claramente los dos primeros términos se pueden observar: - tenemos suficiente 1. A continuación, con el extra 1, y las dos mitades, podemos obtener 2, en el que vamos a escribir como $\frac{4}{2}$, para el período siguiente. Entonces necesitamos $\frac{8}{6}$, lo que podría parecer un poco más difícil, si sólo porque ya no podemos escribir el siguiente término de la serie. Pero, realmente no es tan malo, como hemos $\frac{2}{6}$ desde el siguiente término de la suma, y, a continuación, cada una de las $\frac{1}{2}$ términos en la suma original puede ser usado para adquirir tres más, así que los 8 que necesitamos.

Anote todos los términos como este, tan lejos como usted necesita para ir a convencer a ti mismo, y, a continuación, sólo seguir rascando como utilizarlos, y el grupo de ellos apropiadamente.

En última instancia, creo que esto no es tan bonito como el usar las propiedades de una serie infinita, pero ya que usted quería una algebraico forma, este es el mejor que puede venir para arriba con.

Como última nota, realmente no debería escribir el infinito en esas sumas. Lo que sucede es que los términos son en realidad más y más pequeño y más pequeño, que es la razón por la que "dejar de crecer" a $e$. Se contraen de manera rápida, por lo que la suma de todos estos chicos, que llegan hasta un número que nunca puede pasar, es lo que llamamos número $e$ porque es muy especial en el resto de las matemáticas.

Answer 2

Esto se reduce a probar que:

$$\sum_{\substack{k_1,k_1\\k_1+k_2 = n}}\frac{1}{k_1!k_2!} = \frac{2^n}{n!}$$

Esto se deduce del teorema del binomio, o simplemente podría decir que $$\frac{n!}{k_1! k_2!}$$

para $k_1+k_2 = n$ es el número de maneras en que usted puede distribuir $n$ elementos de dos conjuntos de $k_1$ $k_2$ elementos y si usted suma sobre todos los tamaños de los conjuntos que se suma a $n$, entonces se obtiene el número total de maneras en que usted puede optar por algunas de las $n$ artículos. Para cada una de las $n$ artículos que usted puede elegir entre tomar o no, así que hay dos opciones para cada elemento, por lo tanto, no se $2^n$ opciones en total.

Answer 3

Escribe una tabla con las columnas marcadas $1, 1, 1/2!,\ldots$ y las filas con la etiqueta de la misma. A continuación, en cada entrada, poner el producto de la fila de encabezado con el título de la columna. Ahora mira hacia arriba en cada diagonal. La suma de los primeros es de 1, el siguiente el 2, etc. Estos son los términos de la serie de $e^2.$ $n$th diagonal necesita ser expresado en términos de $1/n!$. Al hacer esto, verás que los numeradores son las $n$th fila del Triángulo de Pascal. A continuación, tenga en cuenta que la suma de los $n$th fila del triángulo de Pascal es $2^n$.

Answer 4

Vamos $$f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\tag{1}$$ then it is easy to see that the series on right is absolutely convergent for all values of $z \in \mathbb{C}$ and hence the function $f(z)$ is well defined for all complex values of $z$. Using Cauchy's product rule for multiplication of infinite series we see that $$f(z)f(w) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\cdot\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}\tag{2}$$ where $$c_{n} = \sum_{k = 0}^{n}\frac{z^{n - k}}{(n - k)!}\cdot\frac{w^{k}}{k!} = \frac{1}{n!}\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}z^{n - k}w^{k} = \frac{(z + w)^{n}}{n!}\tag{3}$$ and hence from $(2), (3)$ we get $$f(z)f(w) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(z + w)^{n}}{n!} = f(z + w)\tag{4}$$ for all complex $z, w$. Putting $z = w = 1$ we get $$f(1)\cdot f(1) = f(2)$$ cual es el resultado pedido en cuestión.

El uso de $(4)$ y un poco de álgebra es posible demostrar que $\{f(z)\}^{n} = f(nz)$ para todo el complejo de $z$ y racional $n$. Poner a $z = 1$ y reemplace $n$ $x$ vemos que $f(x) = \{f(1)\}^{x}$ donde $x$ es racional o en gran moda $$\left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots\right)^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots$$ where $x$ es racional (esto es el hecho que mencionas al principio de tu pregunta).

Answer 5

Desde $e^ne^m = e^{n+m}$ usted puede simplemente dejar que $x = 2t$, dando

$$(e^{t})^2 = e^{2t} = 1 + 2t + \frac{4t^2}{2!}+\frac{8t^3}{3!} + \cdots$$

Ahora, vamos a $t = 1$ y tiene

$$e^2 = 1 + 2 + \frac{4}{2!} + \frac{8}{3!} + \cdots = (1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots )^2 = (e^1)^2.$$