la obtención de fácil solución de la ecuación diferencial

Question

Pasé por una cuestión de una ecuación diferencial y necesito ayuda para resolver es de la opinión de su fácil pero soy nuevo con ecuaciones diferenciales.

Sea S la solución de la ecuación diferencial :

$xy' -y= \frac{-x^2}{x^2+1}$. Deducir S.

supongo que la primera cosa a hacer es trabajar en $xy' -y= 0$, ¿es eso cierto?

Answer 1

Junto al método de la integración de los factores, usted también tiene el método de variación de parámetros.

Como dices, lo primero es resolver la homegeneous ecuación. En tu caso, a continuación, comenzar con $x y'-y=0$, lo que conduce a $y=C x$. Pero, para la ecuación completa, se considera que el $C$ es una función de $x$.

Entonces $$x(C + C'x)-Cx=C'x^2=-\frac{x^2}{x^2+1}$$Which makes $$C'=-\frac{1}{x^2+1}$$ Integrating gives $$C=-\tan^{-1}(x)+K$$ and finally $$y=Cx=-x \tan^{-1}(x)+K x$$

Answer 2

la forma general de primer orden de la ecuación diferencial lineal es $$y'+P(x)y=Q(x)$$ así, su DE se convierte en $$y'-\frac{1}{x}y=-\frac{x}{x^2+1}$$ aquí $$P(x)=-\frac{1}{x}$$ y $$Q(x)=-\frac{x}{x^2+1}$$ $$\rho=e^{\int P(x)dx}=e^{-\frac{1}{x}dx}=\frac{1}{x}$$ y $$y.\rho=\int \rho.Q(x)dx$$ $$y.\frac{1}{x}=\int \frac{1}{x}(-\frac{x}{x^2+1})dx$$ $$y.\frac{1}{x}=-\tan^{-1}x+C_1$$ y, a continuación, $$y=-x\tan^{-1}x+C_1x$$