Las propiedades clave de la de Levi-Civita símbolo de su antisymmetry y normalización, $\epsilon_{1\cdots n}=1$.
Deseamos capturar, con los números enteros $\{i_1,\ldots,i_n\}$, $i_j\in\{1,\ldots,n\}$, estas propiedades de $\epsilon$.
Es natural considerar a los productos de la forma $\prod_{j,k}(i_j-i_k)$, ya que el producto se desvanece si alguna de las $i$s son el mismo.
Además, no podemos tener un número par de factores de la forma $(i_j-i_k)$, ya que vamos a tener ninguna esperanza de capturar la antisymmety propiedad de $\epsilon$.
Un ansatz simple es
$$\begin{eqnarray*}
e(i_1,\ldots,i_n) &=& c_n\prod_{1\le j<k\le n}(i_k-i_j) \\
&=& c_n \prod_{k=2}^n\prod_{j=1}^{k-1}(i_k-i_j) \\
&=& c_n [(i_2-i_{1})] \\
&& \times [(i_3-i_1)(i_3-i_2)] \\
&& \cdots \\
&& \times [(i_{n-1}-i_{1})\cdots(i_{n-1}-i_{n-2})] \\
&& \times [(i_n-i_{1})\cdots(i_n-i_{n-1})]
\end{eqnarray*}$$
donde $c_n$ es una constante que se determinará en breve.
A partir de la forma del producto podemos ver que permuting adyacentes $i$s en el producto simplemente de introducir un factor de $-1$.
(Por ejemplo, $e(i_2,i_1,\ldots,i_n) = -e(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ ya que vamos a recoger un factor de $-1$ desde el factor de $(i_2-i_1)$.)
Esto es suficiente para demostrar que el producto tiene la antisymmetry propiedad de $\epsilon$.
Si alguna de las $i$s no son distintas, el producto es cero.
Todos los otros productos que pueden ser obtenidos por las permutaciones de los productos
$e(1,\ldots,n)$.
Todo lo que queda es determinar $c_n$.
Tenemos
$$\begin{eqnarray*}
e(1,\ldots,n) &=& c_n \prod_{k=2}^n\prod_{j=1}^{k-1}(k-j) \\
&=& c_n \prod_{k=2}^n\prod_{l=1}^{k-1}l
\hspace{5ex} (\textrm{let }m=k-j) \\
&=& c_n \prod_{k=2}^n (k-1)! \\
%&=& c_n \prod_{k=1}^{n-1}k \\
&=& c_n \, \mathrm{sf}(n-1),
\end{eqnarray*}$$
donde $\mathrm{sf}(n)=\prod_{k=1}^{n}k!$ es el superfactorial.
(A partir de $n=0$, la secuencia de superfactorials es
$1,1,2,12,288,\ldots$.)
Por lo tanto,
$$\begin{eqnarray*}
\epsilon_{i_1\cdots i_n} &=& e(i_1,\ldots,i_n) \\
&=& \frac{1}{\mathrm{sf}(n-1)}
\prod_{1\le j<k\le n}(i_k-i_j).
\hspace{10ex} \textrm{(1)}
\end{eqnarray*}$$
Algunos de los resultados para las pequeñas $n$ seguir.
$n=2$
$$\epsilon_{ij} = j-i, \quad i,j\in\{1,2\}$$
$n=3$
$$\begin{eqnarray*}
\epsilon_{ijk} &=& \frac{1}{2}(j-i)(k-i)(k-j), \quad i,j,k\in\{1,2,3\} \\
&=& \frac{1}{2}(i-j)(j-k)(k-i)
\end{eqnarray*}$$
$n=4$
$$\begin{eqnarray*}
\epsilon_{ijkl} &=& \frac{1}{12}(j-i)(k-i)(k-j)(l-i)(l-j)(l-k),
\quad i,j,k,l\in\{1,2,3,4\}
\end{eqnarray*}$$
La degeneración
Desde $\epsilon_{i_1\cdots i_n}^{2m+1} = \epsilon_{i_1\cdots i_n}$$m\in\mathbb{N}$, nos encontramos una infinidad de otras posibles representaciones para $\epsilon$, es decir, el producto
$$\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\mathrm{sf}(n-1)^{2m+1}}
\prod_{1\le j<k\le n}(i_k-i_j)^{2m+1}
\end{eqnarray*}$$
es también una perfectamente buena representación de $\epsilon$.
El principio de la parsimonia dicta que la representación (1) es preferible.
