Una pregunta sobre el teorema de Borsuk-Ulam $\Bbb S^n$ visto como esfera topológica.

Question

Teorema de Borsuk-Ulam indica que:

Para cada función continua $f:\Bbb S^n\to \Bbb R^n$ asigna un par de puntos antipodal al mismo punto. es decir, existe un $x\in\Bbb S^n$ tal que $f(x)=f(-x)$.

¿Esto es cierto para cada esfera topológica? en este caso ¿cuál es la definición de puntos antipodal?

Answer 1

Que $X$ sea un espacio topológico, homeomorfa a la $n$-esfera $\Bbb{S}^n$ vía un Homeomorfismo $h:\Bbb{S}^n\to X$. Que $g:X \to \mathbb{R}^n$ ser una función continua. Entonces $g\circ h:\Bbb{S}^n\to\Bbb{R}^n$ es continua, y así satisface el teorema de Borsuk-Ulam. Por lo tanto existe un $x\in\Bbb{S}^n$ tal que $(g\circ h)(x)=(g\circ h)(-x)$.

Desde el punto de vista $X$, existe puntos $h(x)$ y $h(-x)$ $X$ tal que $g(h(x))=g(h(-x))$. Por lo tanto el % de puntos $h(x)$y $h(-x)$ toma el lugar de nuestros puntos antipodal.

Answer 2

Es en sí mismo bastante específicos para la involución mapa de $i(x) = -x$. (una involución $j: X \to X$ satisface $j(j(x)) = x$, y la negación mapa también tenemos que no tiene puntos fijos en la esfera.

Pero si tenemos un espacio de $X$ con un homeomorphism $h: X \to \mathbb{S}^n$, entonces podemos definir el $j : X \to X$$j(x) = h^{-1}(i(h(x)))$, y tenga en cuenta que $j$ no tiene puntos fijos , como

$$j(x) =x \Leftrightarrow h(j(x)) = h(x) \Leftrightarrow i(h(x)) = h(x)\text{.}$$

También, si $f: X \to \mathbb{R}^n$ es continua, por lo que es $f \circ h^{-1}: \mathbb{S}^n \to \mathbb{R}^n$ tan clásico Borsuk-Ulam dice que hay algunos $p \in \mathbb{S}^n$ $f(h^{-1}(-p) = f(h^{-1}(p))$ pero luego para $p' = h^{-1}(p)$ hemos

$$f(j(p')) = f(h^{-1}(i(h(p'))) = f(h^{-1}(-h(p'))) = f(h^{-1}(-p) = f(h^{-1}(p)) = f(p')$$ desembalaje de todas las definiciones y supuestos.

Así, por cada esfera topológica $X$ no es una solución de punto libre de la involución $j: X \to X$ tal que para cada continuas $f: X \to \mathbb{R}^n$ hay $p \in X$ tal que $f(j(p)) = f(p)$, de manera similar a lo que hemos de $i$ clásico sobre la esfera. Creo que es lo mejor que podemos hacer. No podemos esperar el mismo $i$ a de trabajo, pero cada topológica de la esfera tiene un análogo mapa.