Resumen
En la siguiente respuesta se definen y distinguen las distancias "geográfica", "euclidiana", "de trayectoria" y "de coste". Se establecen conexiones con el Cálculo de Variaciones para mostrar lo generales y potentes que pueden ser estas herramientas de los SIG cuando se abstraen e implementan adecuadamente.
Distancia geográfica y euclidiana
Wikipedia afirma que "la distancia geográfica es la distancia medida a lo largo de la superficie de la tierra". Para la mayoría de las proyecciones, esto es no la misma que la distancia euclidiana en el mapa (que, para ser claros, se calcula utilizando la fórmula pitagórica aplicada a las coordenadas del mapa). Así que parece poco inteligente utilizar indistintamente "distancia geográfica" y "distancia euclidiana".
Distancia de la ruta
El uso de la "distancia del camino" es razonable, pero a la luz de los recientes desarrollos de los programas informáticos de SIG debería utilizarse con precaución. En cualquier caso, quizá sea más claro referirse directamente al trayecto, como en "la longitud de este trayecto desde el punto A al punto B es de 1,1 kilómetros" en lugar de "la distancia del trayecto de A a B es de 1,1 kilómetros". Lo primero es menos ambiguo.
Coste de la distancia
El término genérico para una función ponderada a lo largo de un camino (no de la propia distancia del camino) es "distancia de los costes". Sin embargo, ESRI ha empezado a hacer una distinción. Para que esto quede lo más claro posible, y para situarlo en un contexto más amplio, necesitamos un poco de notación y algunas definiciones:
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Un "camino" c del punto A al punto B es una función continua desde un intervalo real [t0,t1] a un espacio métrico X (casi siempre un trozo de Colector riemanniano como un plano o un esferoide) para el que c(t0) = A y c(t1) = B.
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Una función de "impedancia" o "coste" f es una función de valor real definida en X.
Cuando f se define en una vecindad de la imagen de una trayectoria c y la composición t --> f(c(t)) (que es una función de valor real en el intervalo [t0,t1]) es integrable, podemos definir el "coste" (relativo a f ) de la trayectoria c para ser la integral de f(c(t)) desde t=t0 hasta t=t1. Intuitivamente, esto suma los costes encontrados a lo largo del camino y los pondera en función de la velocidad. Cuando sólo interesan los puntos a lo largo de la trayectoria, y no la velocidad de recorrerla, entonces debemos especificar que la trayectoria se recorra en segmentos distintos a una velocidad constante. Para que esto tenga sentido, el camino debe ser diferenciable de forma continua a trozos (es decir, tener un vector de velocidad en cada punto y no tener saltos en la velocidad excepto en "esquinas" bien definidas). Esa información sobre la velocidad puede utilizarse para reparametrizar la trayectoria para que tenga una velocidad unitaria (excepto en las esquinas). Al invocar esta restricción, nos aseguramos de que el coste integrado depende realmente sólo de los puntos a lo largo del camino y no de cómo lo recorremos. El cálculo de la "distancia de coste" de ESRI (y otros cálculos similares realizados por GRASS, Idrisi, etc.) se aproximan a esta integral utilizando cálculos en una cuadrícula e intentan encontrar un camino que minimice la integral.
Distancia de la ruta
ESRI's distancia del camino generaliza esto. En este caso, el coste es una función no sólo de las ubicaciones de la trayectoria c(t), sino también de las velocidades de la trayectoria dadas por la derivada c'(t). Podemos escribir el coste como la integral de f(c(t), c'(t)) (para alguna función f de dos variables) como t va de t0 a t1.
(Hay una reformulación muy inteligente de esto que señala el camino hacia una forma general de encontrar distancias óptimas de trayectorias utilizando sólo el algoritmo de distancia de coste simple. A cada punto de X, se le asocia el conjunto de velocidades posibles en ese punto: esto se llama el haz tangente de X. La parte importante del haz (para velocidades razonablemente pequeñas) podría representarse de forma cuadriculada, dando una cuadrícula de tres o cuatro dimensiones para todo el haz tangente. La trayectoria t-->c(t) se "eleva" a una trayectoria t-->(c(t), c'(t)) en el haz tangente. Con esta construcción, encontrar una trayectoria óptima -la "distancia de la trayectoria"- se convierte en exactamente el mismo algoritmo que para encontrar la "distancia de coste", salvo que el espacio tiene más dimensiones. En efecto, acabo de describir cómo discretizar el Ecuación de Euler-Lagrange .)
El Cálculo de Variaciones
De forma más general, el coste de un camino suficientemente diferenciable desde el punto A al punto B puede ser una función de los lugares y de las derivadas de orden superior c'(t), c''(t), etc., integradas desde t0 hasta t1. Por ejemplo, las teorías de morfología fluvial sugieren balances energéticos que estructuran los caminos seguidos por los ríos; la energía suele depender de c(t), c'(t), et c''(t). En general, esta es la configuración del Cálculo de Variaciones que se desarrolló en matemáticas y física para resolver este tipo de problemas. Es una disciplina poderosa: por ejemplo, toda la física se puede plantear en términos de minimizar estos costes de trayectoria generalizados a través de la Principio de mínima acción . Esto proporciona una respuesta más a la pregunta: podríamos llamar genéricamente "distancia de coste" o "distancia de camino" a la acción del camino de menor acción del punto A al punto B.
Conclusión
Este contexto muestra lo generales que pueden ser los cálculos de los SIG y la fuerza con la que pueden aplicarse a los fenómenos del mundo real, especialmente si el software se generalizara para permitir la formulación de problemas generales en el Cálculo de Variaciones y si se le dotara de un "motor" general para la solución numérica de esos problemas.
