¿Por qué puede ' t construir un contraejemplo para el lema Fundamental del cálculo de variaciones?

Question

"El lema fundamental del cálculo de variaciones indica que si la integral definida de que el producto de una función continua $f(x)$ $h(x)$ es cero, por todas las funciones continuas $h(x)$ que se desvanecen en los extremos del intervalo de integración y tiene sus dos primeros derivados continuo,$f(x)=0$."

¿Por qué no podemos construir una $h(x)$ que comienza a las $(a,0)$, tiene una trayectoria positiva, a imaginar, a decir, al revés de parábola y luego regresa hacia abajo hasta el final en $(b,0)$, y, a continuación, algunos de los $f(x)$ que es positivo para la primera mitad del intervalo y negativo para la segunda mitad (creo que de alguna curva sinusoidal)? Luego, cuando nos integramos, nos sería básicamente la adición de una serie de cantidades de positivos ($h(x)f(x)$ sería positivo) y, a continuación, una serie de cantidades negativas ( $f(x)h(x)$ $\text{negative}\times\text{positive} = \text{negative}$ ). Podríamos afinar para conseguir que esto sea igual a cero.

Lo que precisamente no soy yo la comprensión de aquí?

Answer 1

Este parece ser un problema con cuantificadores.

Si entiendo correctamente, el lema fundamental establece que:

Si $f \in C[a,b]$ es tal que $\int_a^b f(x)h(x)\,dx = 0$ todos los $h\in C^2[a,b]$$h(a) = h(b) = 0$,$f \equiv 0$.

Un contra-ejemplo de esta afirmación significaría encontrar una función $f \in C[a,b]$ $f \not \equiv 0$ tal que $\int_a^b f(x) h(x)\,dx = 0$ para todos los $h \in C^2[a,b]$ $h(a) = h(b) = 0$.

En otras palabras: Se encuentra una función de $f\not \equiv 0$ tal que $\int_a^b f(x)h(x)\,dx = 0$ para algunos la función$h \in C^2[a,b]$$h(a) = h(b) = 0$. Su función $f$, sin embargo, no satisfacen $\int_a^b f(x)h(x)\,dx = 0$ para todos los $h \in C^2[a,b]$ $h(a) = h(b) = 0$.