¿Cómo son los siguientes dos Chebychev ' desigualdades s equivalente?

Question

Estaba mirando la siguiente definición de desigualdad de Chebyshev

$$P(|X - E(X)| \geq r) \leq \frac{Var(X)}{r^2}$$

que incluye el valor esperado y varianza de $X$, y entonces descubrí que hay desigualdad de Chebyshev equivalente otro, que implica el % de desviación estándar $\sigma$

$$P(|X - E(X)| \geq r\cdot \sigma) \leq \frac{1}{r^2}$$

pero no lo estoy entendiendo por qué son estas fórmulas equivalentes.

¿Podría usted por favor explicarme por qué este es el caso?

Tenga en cuenta que sé lo que es la desviación estándar.

Answer 1

Vamos a reemplazar $Var(X)$ $\sigma^2$ en la primera ecuación para dar $$P(|X - E(X)| \geq r) \leq \frac{\sigma^2}{r^2}.$ $

Ahora Supongamos que $k= \dfrac{r}{\sigma}$, es decir, $r = k \sigma$ y sustituir a $$P(|X - E(X)| \geq k \sigma) \leq \frac{\sigma^2}{k^2\sigma^2} = \frac{1}{k^2}$$ which is your second equation using $k $ instead of $r$.

Usted puede pensar del $r$ en la primera ecuación tiene las mismas unidades que $X$ y $\sigma$y el $r$ o $k$ en el segundo ser un múltiple escalar sin unidades de la desviación estándar, pero en última instancia, dicen lo mismo.

Answer 2

Es exactamente lo mismo. Si utilizas la primera desigualdad tiene $$P(|X−E(X)|\geq r⋅σ)\leq \frac{\operatorname{var}(X)}{(r\sigma)^2}=\frac{1}{r^2}.$ $

Answer 3

Tenga en cuenta que $Var(X) = \sigma^2$. \begin{align} P(|X - E(X)| \geq r) \leq \frac{\sigma^2}{r^2} &\implies P((X - E(X))^2 \geq r^2) \leq \frac{\sigma^2}{r^2} \ &\implies P((X - E(X))^2 \geq r^2\sigma^2) \leq \frac{1}{r^2} \ &\implies P(|X - E(X)| \geq r\sigma) \leq \frac{1}{r^2} \end{align}