Preguntas elementales sobre poleas inversible amplia

Question

Deje $X$ ser un cuasi-sistema compacto. Deje $\mathcal L$ ser invertible gavilla en $X$. Podemos decir $\mathcal L$ es suficiente si por cualquier finitely generado cuasi coherente gavilla $\mathcal F$$X$, existe alguna $N\ge 1$ tal que $\mathcal F\otimes \mathcal L^{\otimes n}$ es generado por su sistema global de secciones para todos los $n\ge N$.

Tengo tres preguntas.

$1.$ $\mathcal F$ $\mathcal L$ Son finitely generado. El uso de la cuasi-compacidad hipótesis, parece que debe ser capaz de demostrar que "generado por el mundial de secciones" en la afirmación anterior puede ser sustituido por el de "generado por un número finito de global secciones." Esto es cierto, y si es así, ¿cómo demostrarlo?

Me disculpo si esto es muy fácil, yo soy liarse en las definiciones. Aquí va mi intento:

Supongamos $\mathcal F\otimes \mathcal L^{\otimes n}$ es generado por su global secciones para algunos $n$. Vamos a este conjunto se $\{s_\alpha\}$. A continuación, para cada una de las afín $U$, $\mathcal F\otimes \mathcal L^{\otimes n}|_U$ es generado por su sistema global de secciones $\{s_\alpha|_U\}$. Así que basta reducir a un número finito afín a cubrir, porque si se demuestra que para esta cobertura, podemos recoger sus respectivos finito de grupos electrogenos en uno de los grandes, pero finito, de conjunto.

Desde $\mathcal F$ $\mathcal L$ son finitely generado, por lo que es $\mathcal F\otimes \mathcal L^{\otimes n}$. Así que puede tomar un número finito de abra la cubierta de la afín a abrir los subconjuntos $U_i$ que son finitely generado como $\mathcal O_X$ módulos, utilizando cuasi-compacidad. Entonces, desde el $\mathcal F\otimes \mathcal L^{\otimes n}(U_i)$ son finitely generado, de un número finito de $\{s_\alpha|_{U_i}\}$ suficiente para generar todos los tallos.

La última frase es sólo una conjetura. Yo no creo que sea correcto, pero también parece que la única manera de proceder.

$2.$ Considerar el siguiente teorema

Deje $f:X\rightarrow Y$ ser un adecuado morfismos de local Noetherian esquemas. Deje $\mathcal L$ ser invertible gavilla en $X$. Fijemos un punto de $y\in Y$ y dejar que $\phi: X \times _Y \operatorname{Spec} \mathcal O_{Y,y} \rightarrow X$ be the canonical morphism. Then if $\phi^* \mathcal L$ is ample, there exists an open neighborhood $V$ of $$y tal que $\mathcal L_{f^{-1}(V)}$ es suficiente.

La prueba comienza diciendo que si reemplazamos $\mathcal L$ por un tensor de energía, podemos suponer que $\phi^*\mathcal L$ es muy amplio y generada por su sistema global de secciones. ¿Por qué es esto?

(Una muy amplia gavilla es una gavilla que es el retroceso en algunas de inmersión $i:X\rightarrow \mathbb P^d_A$$\mathcal O_{P^d_A}(1).$)

$3.$ Fue demostrado anteriormente que algunos tensor de energía de $\mathcal L$ es muy amplio. Es verdad que todo muy amplio gavilla es generado por su sistema global de secciones? Wikipedia dice que esto es cierto, pero no es transparente, a partir de la descripción en mi libro.

Answer 1

Voy a intentar responder a tus preguntas en orden inverso.

Q3: Considere un abrir afín $U\subset X$, vamos a mostrar que el si $\mathcal{L}$ es un muy amplio gavilla en $X$ $\Gamma(X, \mathcal{L}) \rightarrow \Gamma(U, \mathcal{L})$ es surjective. Observe que encoge $U$ si es necesario, podemos suponer que la $U \subset \mathbb{A}^{d} \cap X$ donde $\mathbb{A}^{d}$ es un estándar afín a abrir (o más apropiadamente un hyperplane sección) en $\mathbb{P}^{d}$. ( $U$ corresponde a la no-desaparición de locus de una función en $X$, levantar esa función a $\mathbb{P}^{d}$).
Ahora tomar cualquier sección de $s \in \Gamma(U,\mathcal{L})$ se eleva a una sección de $\mathcal{A}^{d}$ (debido a $U$ es un conjunto cerrado en un espacio afín), este artículo se levanta a $\mathbb{P}^{d}$ (debido a $\mathcal{O}(1)$ es amplio (esto es un cálculo)) y, a continuación, considerar la restricción de esta sección a $X$.

P2: Desde $\mathcal{G} =\phi^{\ast}\mathcal{L}$ es amplio, podemos después de la sustitución de la misma por algunos tensor de poder asumir que $\mathcal{G}^{\otimes n}$ es generado por el mundial de secciones $\{ s_{0}, \ldots, s_{N} \}$, lo que a su vez le da un morfismos a $X \rightarrow \mathbb{P}^{\mathcal{G}}= Proj(\oplus_{m} \Gamma(X,\mathcal{G}^{mn})$ (este es un estándar de hecho, usted puede encontrar en Hartshorne o mejor Mumford explica esto en Curvas en una superficie algebraica). Naturalmente, $\mathcal{G}$ es el pullback de $\mathcal{O}(1)$$\mathbb{P}^{\mathcal{G}}$.

P1: estoy de acuerdo con tu planteamiento. Recordemos que en el álgebra cuando decimos que un ideal es invertible nos significa implícitamente que algunos finito combinación es la identidad. La única cosa que voy a ser cauteloso acerca de si no asumimos $X$ es Noetherian y(o) separada esquema, a continuación, puede haber algo de patológico contraejemplos. No puedo pensar en algo ahora mismo... Probablemente va a funcionar en ese caso.