$<$ en un preorder

Question

El autor del libro que estoy estudiando define $<$ para un poset como

Si $x, y \in X$ donde $X$ es un poset, a continuación, escribiremos $x < y$ significa que $x \le y$$x \ne y$.

A partir de esto, me puede concebir de dos definiciones para $<$ para un preorder:

1) Si $x, y \in X$ donde $X$ es un preorder, a continuación, escribiremos $x < y$ significa que $x \le y$$x \ne y$.

o

2) Si $x, y \in X$ donde $X$ es un preorder, a continuación, escribiremos $x < y$ significa que $x \le y$$y \not\le x$.

Cual de estos es el más adecuado?

Answer 1

(1) es incorrecta, puesto que si $\leq$ es sólo una orden previa, entonces puede tener $x\leq y\leq x$ $x\neq y$, y esto significa que el % de relación $\lt$definido en (1) es no transitivo, puesto que usted tiene $x\lt y\lt x$ $x\not\lt x$. Así que en (1), no tienen un orden parcial.

(2) es el orden parcial estricto comúnmente asociado con un pre-order; es irreflexiva y transitiva.

Answer 2

Usted puede saber por ahora que si tienes un preorder entonces usted puede tomar un cociente de la relación equivalente $x\sim y\iff x\leq y\land y\leq x$ y tiene un poset.

La definición debe ser tal que lo lleva al cociente, por lo que la segunda definición es más apropiada. En el primero podemos tener $x\neq y$ y $x\leq y\land y\leq x$, $x\sim y$ en el poset inducido $[x]=[y]$.