Encontrar la derivada de $f(x) = \frac{e^{x^{2}} (\arcsin{x})^{2}x\sqrt{\cos{x}}}{(\ln{x})^{6} \sin^{2}x}$

Question

Pregunta:

Encontrar la derivada de:

$$f(x) = \frac{e^{x^{2}} (\arcsin{x})^{2}x\sqrt{\cos{x}}}{(\ln{x})^{6} \sin^{2}x}$$

Intento De Solución

El enfoque más productivo parece ser diferenciación logarítmica:

$$\ln |f(x)| = \ln \left|\frac{e^{x^{2}} (\arcsin{x})^{2}x\sqrt{\cos{x}}}{(\ln{x})^{6} \sin^{2}x}\right|$$

La distribución del logaritmo natural de la función da, además, en lugar de la multiplicación y la resta en lugar de la división:

$$\ln \left|\frac{e^{x^{2}} (\arcsin{x})^{2}x\sqrt{\cos{x}}}{(\ln{x})^{6} \sin^{2}x}\right| = \ln |e^{x^2}| + \ln |(\arcsin x)^2| + \ln |x|$$ $$+ \ln |\sqrt{\cos x}| - \ln |(\ln x)^6| - \ln |\sin^2 x|$$

Tomando la derivada de ambos lados nos da:

$$f'(x) = f(x) \left( \frac{2 e^{x^2}}{e^{x^2}} + \frac{2 \arcsin x}{(\arcsin x)^2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{x} + \frac{-\sin x}{2 \cos x} + \frac{6 (\ln x)^5}{(\ln x)^6} \frac{1}{x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x}\right) $$

Simplificando, se obtiene:

$$f'(x) = f(x) \left( 2 + \frac{2}{\arcsin x \sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{x} -\frac{1}{2} \tan x + \frac{6}{x \ln x} + 2\cos x \right)$$

Sin embargo, esta no es la respuesta correcta. En particular, la primera y la última términos están mal. Dónde y cómo lo hizo salir mal?

Answer 1

Tomar el logaritmo natural para obtener $$\ln f = \ln e^{x^2} + 2\ln \arcsin x + \ln x + \frac{1}{2} \ln \cos x - 6\ln \ln x - 2\ln \sin x$ $

Y luego que simplificar un poco, es decir: $\ln e^{x^2} = x^2$ y diferenciación da %#% $ #%

Así le da los términos correctos de la primeros y la últimos. Recuerda que registros más que convertir multiplicación a la adición, se vuelven poderes a coeficientes, haciendo mucho más fácil diferenciación.