Secuencias exactas inducidas en categorías abelianas

Question

Dejemos que $\mathcal{A}$ sea una categoría abeliana. Demuestre que para cada $f:A\to B$ las siguientes secuencias son exactas:

$$0\to \text{ker}(f)\xrightarrow{i} A\xrightarrow{\pi}\text{coim}(f)\to 0$$ $$0\to \text{im}(f)\xrightarrow{j} B\xrightarrow{\rho}\text{coker}(f)\to 0$$

He utilizado las propiedades universales de $\text{ker, im, coim}$ y $\text{coker}$ para demostrar que $i, j$ son monomorfismos y $\pi,\rho$ son epimorfismos.

Pero no tengo ni idea de cómo probarlo $\text{ker}(\pi)=\text{im}(i)$ y $\text{ker}(\rho)=\text{im}(j)$ . En casos explícitos, como en las categorías de $A$ -módulos o grupos, obviamente tenemos que $\text{im}(i)=\text{ker}(f)=\text{ker}(\pi)$ por ejemplo. Pero en general, no sé ni por dónde empezar.

¿Cuál es la idea?

Answer 1

Defino $\text{coim}(f) := \text{coker}(\ker(f) \to A) = \text{coker}(i),$ por lo que la secuencia superior es claramente exacta en los lugares del centro y de la derecha. De la izquierda ya te encargaste tú. Del mismo modo, $\text{im}(f) = \ker(\rho),$ así que ya está hecho, a no ser que se utilicen definiciones diferentes.