Suma de Convergente y Divergente de la Serie

Question

$\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ es convergente la serie y $\sum_{n=1}^{\infty}y_n$ es una divergente la serie. Demostrar que su suma diverge.

Mi intento:

Supongamos $\sum_{n=1}^{\infty}x_n + y_n$ converge.

Desde $\sum_{n=1}^{\infty}-x_n = -\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ converge, $\sum_{n=1}^{\infty}x_n + y_n - \sum_{n=1}^{\infty}x_n = \sum_{n=1}^{\infty}y_n$

Esto implica que $\sum_{n=1}^{\infty}y_n$ converge, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $\sum_{n=1}^{\infty}x_n + y_n$ diverge.

¿Es esto una prueba?

Answer 1

Sí, esa sería la forma estándar de hacerlo.

Answer 2

Si $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}+y_{n}$ converge, entonces podemos hablar de la secuencia de $c_{r}=\displaystyle \sum_{n=1}^{r} x_{n}+y_{n}$ en términos de su comportamiento para arbitrariamente grande,$r$. Podemos reescribir $c_{r}$ $p_{r}+q_{r}$ donde $p_{r}, q_{r}$ es la suma parcial de las secuencias de $x_{n}$ $y_{n}$ respectivamente. Esto se puede hacer porque estamos suponiendo que la $r$ es finito y determinado $r$, son idénticos.

Ahora, sabemos que el comportamiento de $p_{r}$ en el rango deseado (en algún lugar entre el 0 y el infinito, pero muy grandes);$O(1)$. Esto es debido a que se están teniendo en cuenta que $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ converge.

Así, por arbitrariamente grande,$r$,

$c_{r}-q_{r}=O(1)$.

Esto significa que el comportamiento de $c_{r}$ 'aproximadamente' el comportamiento de $q_{r}$.