Discretos armónico de la función en un plano gráfico

Question

Dado un grafo $G$ vamos a llamar a una función $f:V(G)\to \mathbb{R}$ discretos armónica si para todas las $v\in V(G)$ , el valor de $f(v)$ es igual a la media de los valores de $f$ a todos los vecinos de $v$. Esto es equivalente a decir que el Laplaciano discreto se desvanece.

Discretos armónica de funciones a veces se usa para aproximar la armónica de funciones y la mayoría del tiempo tienen propiedades similares. Para el avión que tenemos de Liouville del teorema que dice que una limitada armónico de la función tiene que ser constante. Si tomamos un discreto armónico de la función en $\mathbb{Z}^2$ cumple la misma propiedad (constante o no acotada).

Ahora mi pregunta es: Si tenemos un plano gráfico de $G$, de modo que cada punto en el plano se encuentra en un borde de $G$ o está dentro de una cara de $G$ que tiene menos de $n\in \mathbb{N}$ bordes, hace un discreto armónico de la función necesariamente tiene que ser constante o ilimitado?

Sé que la respuesta es positiva si $G$$\mathbb{Z}^2$, la red hexagonal y de celosía triangular, sospecho que la respuesta a mi pregunta es positiva, pero no tengo idea de cómo demostrarlo.

Editada la condición de la gráfica "contienen la cantidad suficiente de ciclos". (Por lo tanto los árboles son descartadas por ejemplo)

Answer 1

La respuesta es no.

Yo en primer lugar describir la gráfica de $G$. Deje $N_i$ ser una secuencia de enteros positivos; vamos a elegir a $N_i$ más tarde. Deje $T$ ser un árbol infinito que tiene un vértice de la raíz, la raíz ha $N_1$ niños; los niños de que la raíz ha $N_2$ de los niños, los niños tienen $N_3$ de los niños y así sucesivamente. Deje $V_0$ ser el conjunto que contiene a la raíz, $V_1$ el conjunto de los niños de la raíz, $V_2$ de los hijos de los elementos de $V_1$, y así sucesivamente. Para formar nuestro gráfico, tome $T$ y agregar una secuencia de ciclos, uno de ellos a través de los vértices de $V_1$, $V_2$ y así sucesivamente. (En la manera que sea compatible con el obvio planas de la incorporación de la $T$.)

Cada cara de $G$ es un triángulo o un cuadrilátero.

Vamos a construir una función armónica $f$ $G$ la siguiente: En la raíz, $f$$0$. En $V_1$, elegimos $f$ a ser distinto de cero, pero el promedio de a $0$. En $V_i$$i \geq 2$, calculamos el $f$ inductivamente por la condición de que, para cada $u \in V_{i-1}$, la función de $f$ es constante en los hijos de $u$. Por supuesto, nos puede o no puede obtener una limitada función dependiendo de cómo elegir el $N_i$. Ahora voy a demostrar que podemos elegir el$N_i$, de modo que $f$ está acotada. O, más bien, yo le reclamo y las dejamos los detalles como ejercicio para usted.

Deje $a_i$ ser una disminución de la secuencia de positivos reales, acercándose a cero. Tome $N_i = 6/(a_{i+1} - a_i)$. Ejercicio: Si $f$$V_1$, se toma entre las $-1+a_1$$1-a_1$, $f$ $V_i$ se encuentran entre $-1+a_i$$1-a_i$. En particular, $f$ será delimitada entre el $-1$ $1$ en todas partes.

Answer 2

Benjamini y Schramm demostrado que un infinito, limitado grado, plano gráfico es no-Liouville si y sólo si es transitoria.

Answer 3

Para general completa de Riemann colectores de otros que el avión, uno necesita un poco de curvatura condiciones para garantizar la del teorema de Liouville. Del mismo modo, para grafos planares, uno necesita algunas restricciones de curvatura demasiado. Ver Geométricas análisis de los aspectos de la infinita semiplanar gráficas con el positivo de la curvatura de la Hua, Jost, Liu, http://arxiv.org/abs/1107.2826, donde la del teorema de Liouville y periodicidad de paseo aleatorio se demostró en semiplanar (grafos que puede ser incrustado en una 2-variedad, incluyendo grafos planares) con no negativo Higuchi de la curvatura, un análogo de la seccional de curvatura (o curvatura de Ricci) de una 2-variedad.

Answer 4

Por ejemplo, cualquiera de los $H_{p,q}$ teselación del espacio hiperbólico $\mathbb{H}_2$ $\frac{1}{q}+\frac{1}{q}<4$ que hace el trabajo.

Answer 5

otra forma de asegurarse de que delimitadas armónica de funciones en un gráfico de $G$ son constantes, es considerar un paseo aleatorio $X_n$: desde $M_n = V(X_n)$ es una martingala acotada, converge casi seguramente. Por lo tanto, si se puede probar que el paseo aleatorio en $G$ son recurrentes, esto demuestra que $V$ tiene que ser constante. Por supuesto, esto puede ser difícil demostrar que el paseo aleatorio en $G$ son recurrentes.