Te voy a dar en la siguiente bastante detallada respuesta, pero permítanme en primer lugar, al poco tiempo el estado de las respuestas a sus preguntas:
El Chern número del vector propio paquete sobre el toro puede ser evaluado por la integración a través de la esfera, el integrando de hecho va a ser el monopolio de la Baya de curvatura. Sin embargo, la integración de la región no va a estar, en general, de un solo barrido de la superficie de la esfera, porque el mapa de $T^2$ (la zona de Brillouin) a $S^2$ mayo de viento de la esfera varias veces.
La transición de las funciones están relacionados con el número de Chern. Sus sinuosas número, es decir, el número de veces que el viento de la línea ecuatorial es igual al número de Chern.
Respecto a la pregunta pausa en el título: La topología de todos los principales $U(1)$ paquetes sobre la$2$-torus $T^2$ es determinado únicamente por el número de Chern. (Este resultado no es general ; por ejemplo no es cierto para el torus $T^3$ porque es de una dimensión superior)
Detalles:
La fase de Berry de una degenerada de estado es un holonomy de un director de una $U(1)$ paquete sobre el espacio de parámetros $M$. Puede haber muchas topológicamente no equivalentes $U(1)$ paquetes a través de un determinado espacio en el parámetro correspondiente no equivalentes a los sistemas cuánticos. Por lo tanto la fase de Berry permite una clasificación de parametrizar los sistemas cuánticos basados en la clasificación de los principales paquetes. Este punto de vista fue notado por: Bohm, Boya, Mostafazadeh y Rudolph.
La clasificación teorema de los principales paquetes afirma la existencia de una entidad de seguridad universal bundle $U(1)\rightarrow\eta\rightarrow B$, de tal manera que cualquier director $U(1)$ bundle $\lambda$ sobre el espacio de parámetros es el pullback de que en algunas mapa de $f$. (Por favor, ver a Nash y Sen para una explicación más detallada de la clasificación de la teoría de los principales paquetes.)
$$\begin{array}{ccc}
\lambda& \overset{f^*}\leftarrow & \eta\\
\downarrow & & \downarrow \\
\mathcal{M} & \overset{f}\rightarrow & B
\end{array}$$
La clasificación de la teoría de los principales paquetes especifica una base del espacio (la clasificación de espacio) y un espacio total de la universal bundle, dependiendo únicamente de la estructura del grupo (en nuestro caso U(1)). En el caso de una degenerada de estado de un Hamiltoniano sin restricciones por cualquier anti-unitario, la simetría, la clasificación de espacio es conocido por ser el infinito dimensional complejo espacio proyectivo $B = \mathbb{C}P(\infty)$. (Para una buena cuenta de los complejos espacios proyectivos , por favor consulte el capítulo 4 de Bengtsson y Życzkowski . También, la siguiente exposición de Juan Báez de la clasificación de los espacios es muy útil y contiene algo más de explicación de las infinitas dimensiones de casos $\mathbb{C}P(\infty)$) .
$\mathbb{C}P(\infty)$ es el espacio de todas las dimensiones de los proyectores, y el mapa de $f$ desde el espacio de parámetros para la base universal del espacio es:
$$P: \mathcal{M}\overset{P}\rightarrow \mathbb{C}P(\infty)$$
$$ \mathcal{M} \ni m \mapsto P(m) = |u(m)\rangle\langle u(m)|\in \mathbb{C}P(\infty)$$
Donde $|u(m)\rangle $ es el estado del sistema. (El paquete de $\lambda$ es a veces llamada la Baya de paquete, y cuando el estado es un eigenstate de un Hamiltoniano, Sinónimos: el eigenbundle o el espectro de paquete).
La construcción de la fase de Berry se deriva de la existencia de un universal $U(1)$ conexión a través de las infinitas dimensiones proyectivas espacio cuya curvatura es la Fubini-Estudio de la forma:
$$ dA = \frac{1}{2i}\mathrm{Tr} (P dP \wedge dP)$$
La tiró hacia atrás de la Baya de conexión de $P^*(A) = A(m)$ es la Baya de conexión cuyo holonomy es la fase de Berry en $\mathcal{M}$ y la integral de la curvatura en $M$ es el primer Chen clase de $\lambda$.
El infinito dimensional espacio proyectivo $\mathbb{C}P(\infty)$ es el límite de una serie de inclusiones:
$$ \mathbb{C}P(1) \subset \mathbb{C}P(2) . . . \subset \mathbb{C}P(\infty)$$
En el caso de cuando el parámetro espacio de dos dimensiones, es suficiente para aproximarse a la clasificación de espacio en su primer componente es decir $ \mathbb{C}P(1) = S^2$ y considerar los mapas para el espacio de una dimensión de proyectores en dos dimensiones, a saber,$S^2$, y consideran que el paquete de mapa:
$$\begin{array}{ccc}
\lambda& \overset{P^*}\leftarrow & \eta\\
\downarrow & & \downarrow \\
\mathcal{M} & \overset{P}\rightarrow & S^2
\end{array}$$
(Por favor véase, por ejemplo, Viennot, para una información más detallada expposition de lo finito dimensional aproximaciones de la clasificación de los espacios)
Aquí, es muy fácil escribir la fórmula para el unidimensional proyector mapa:
$$P(m) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}
1-\cos \theta(m) & \sin \theta(m) e^{i\phi(m)}\\
\sin \theta(m) e^{-i\phi(m)} & 1+\cos \theta(m) \end{bmatrix}$$
Este proyector da lugar a la tire a $\mathcal{M}$ de conocidos monopolo magnético de la Baya de conexión:
$$A_{\pm} = \frac{1\mp\cos \theta(m) }{\sin \theta(m) } d\phi(m) $$
cuya Berry curvatura es proporcional al área de los elementos de la esfera
$$F = \frac{1}{2} \sin \theta(m) d\theta(m) d\phi(m) $$
La integración se realiza a lo largo de una ruta de acceso en el colector de $\mathcal{M}$, con lo que la fase de Berry correspondiente a la ruta de acceso $\Gamma_M$ está dada por:
$$\phi_B = \int_{\Gamma_M} A(m)$$
Puede ser arrastrado de vuelta a las dos de la esfera (por el cambio de la integración de la variable), pero en este caso tenemos que integrar en la imagen de la ruta de $\Gamma = P(\Gamma_M)$:
$$\phi_B = \int_{\Gamma} A$$
Lo mismo es cierto para la clase de Chern:
$$ c = \int_{\mathcal{M}} F(m) = \int_{P(\mathcal{M})} F$$
La integración de la región de viento de mayo a las dos de la esfera varias veces y la Chern número será igual a un múltiplo de la carga del monopolo.
Para la segunda pregunta, podemos observar que:
$$\begin{align*}
\int_{P(\mathcal{M})} F
& = \int_{P(\mathcal{M}) \cap S^1} \left (A_{+}-A_{-}\right )
&=\int_{P(\mathcal{M}) \cap S^1} d \phi
&=\int_{P(\mathcal{M}) \cap S^1} g^{-1}d g
\end{align*} $$
Donde $S^1$ es el ecuador y $g= e^{i \phi}$. El último término es la liquidación número de la asignación de $g$. Es un unidimensional de Wess-Zumino-Witten plazo.
