Contables de la colección de subconjuntos de Borel $[0, 1]$, existe una larga donde $\int_A f_{n_j}(x)\,dx$ converge para cada una de las $i$?

Question

Deje $\{f_n\}$ ser una secuencia de medir real de las funciones con valores en $[0, 1]$ que es uniformemente acotada. ¿Cómo puedo ver que si $\{A_i\}$ es una contables de la colección de subconjuntos de Borel $[0, 1]$, entonces existe una larga $n_j$ tal que $\int_{A_i} f_{n_j}(x)\,dx$ converge para cada una de las $i$?

Answer 1

Esto puede ser demostrado con un argumento de diagonalización.

Con el fin de simplificar la notación voy a escribir $a(i, n) = \int_{A_i} f_n \; d\lambda$.

Tenga en cuenta que $a(1, n)$ es un almacén de secuencia y por lo tanto, podemos encontrar una larga $a(1, k_1(n))$ que converge. Ahora podemos encontrar también una larga $k_2(n)$$k_1(n)$, de modo que $a(2, k_2(n))$ converge (por el mismo argumento). Continuando con esta construcción nos da una secuencia de secuencias de $k_l(n)$ tal que $k_l$ es una larga de $k_{l - 1}$ $a(l, k_l(n))$ converge para $n \to \infty$. Ahora, utilizando la definición de convergencia puede demostrar que todas las secuencias de $a(l, k_n(n))$ convergen $n \to \infty$.