Todos los radicales ideal en $k[x_1,...,x_n]$ está contenida en al menos $2$ máxima ideales

Question

Suponga que $I$ es un buen radical ideal de $k[x_1,...,x_n]$ que no es un ideal maximal donde $k$ es un campo. Demostrar que $I$ está contenida en al menos dos de los máximos ideales.

Ahora es fácil probar la afirmación de uso de Hilbert Nullstellensatz. Me pregunto si hay un más elemental argumento para probar esta afirmación.

Answer 1

No sé si es lo suficientemente elemental, pero usted puede prueba de este uso de Noether normalización y subiendo.

Deje $I$ ser radical ideal, de tal manera que $R=k[x_1, \dotsc, x_n]/I$ es un anillo local. Tenemos que mostrar que $R$ es un campo.

Por Noether normalización, tenemos un número finito de mapa

$$k[y_1, \dotsc, y_d] \hookrightarrow R$$

Desde este mapa es integral, sabemos que un ideal en $R$ es maximal si y solo si su contracción es. En particular, el uso de ese $R$ es local - no es sólo un ideal maximal de a $k[y_1, \dotsc, y_d]$, que es una contracción de un primer de $R$.

Deje $\mathfrak p \subset R$ ser de un mínimo de prime ideal y $\mathfrak q$ ser la contracción a lo largo de este mapa. Yendo para Arriba, todos los máximos ideales de la $k[y_1, \dotsc, y_d]$ contiene $\mathfrak q$ se obtienen como una contracción de un primer de $R$. El argumento de arriba, no es sólo un ideal maximal. Así, hemos demostrado, que $\mathfrak q \subset k[y_1, \dotsc, y_d]$ es un radical ideal, la cual está contenida en un único ideal maximal. El uso de la inducción (tenga en cuenta que $d < n$), obtenemos que $\mathfrak q$ es máxima, es decir, $\mathfrak p$ fue máxima.

Esto demuestra que $R$ es un cero-dimensional anillo local con ideal maximal $\mathfrak p = \operatorname{nil} R$. También es reducido, por lo tanto $\mathfrak p=0$ e lo $R$ es un campo.

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Por supuesto, usted puede utilizar similares argumentos para obtener el Nullstellensatz de Noether normalización y subiendo.

Estoy bastante seguro de que, básicamente, cada prueba de esta declaración va a venir muy cerca de probar el Nullstellensatz así.