Respecto a la base ortonormales

Question

Estoy confrontado con esta pregunta:

Deje $V$ ser un producto interior el espacio y el $B=\{u_{1}, ..., u_{n}\}$ base $V$.

Supongamos que existe $\lambda_{1},...,\lambda_{n} \in F (=R \text{ or } C)$: $$||\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}u_{k}||^2=\sum_{k=1}^{n}|\lambda_{k}|^2$$

Demostrar o refutar: $B$ es una base ortonormales.

No estoy seguro de por dónde empezar.

Traté de encontrar un contador de ejemplo, en el caso de $V=R^2$ el uso de la identidad: $$||u+v||^2=||u||^2+2Re\langle u, v\rangle+||v||^2$$ which gave me this result: $$||\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}||^2=|\lambda_{1}|||u_{1}||^2+2Re\langle\lambda_{1}u_{1},\lambda_{2}u_{2}\rangle+|\lambda_{2}|||u_{2}||^2=|\lambda_{1}|^2+|\lambda_{2}|^2$$

Pero no puedo ver cómo esto me ayuda.

editar:

Aquí hay un poco de pregunta de seguimiento si alguien está interesado: supongamos que la igualdad anterior es cierto para todos los $\lambda_{1},...,\lambda_{n}$, ¿eso implica que la base es ortonormales?

Answer 1

Primero de todo, $\lambda_1$ $\lambda_2$ debe ser cuadrado en el medio de expresión de la última igualdad en su pregunta. Siguiente, para que la cuestión no trivial, un asumption como $\lambda_k\ne0$ todos los $k$ debe ser añadido. De lo contrario, un contraejemplo es dado por tomar todas las $\lambda_k=0$.

La respuesta a la pregunta es que el sistema no necesita ser ortonormales. En $\mathbb{R}^2$ $u_1=(1,0)$, $\lambda_1=1$. Entonces, para cualquier $u_2\in\mathbb{R}^2$$\langle u_1,u_2\rangle\ne0$, vamos a $\lambda_2=2\langle u_1,u_2\rangle/(1-\|u_2\|^2)$. A continuación, $\|\lambda_1u_1+\lambda_2u_2\|^2=|\lambda_1|^2+|\lambda_2|^2$ pero $u_1$ $u_2$ no son ortogonales. Pueden ser incluso linealmente dependiente. El ejemplo puede ser generalizado a $\mathbb{R}^n$.