Calcular la suma de las series $\sum \frac{n^2}{n!}$

Question

Tengo que calcular la suma de las series $\sum \frac{n^2}{n!}$ . Sé que $\sum \frac{1}{n!}=e$ pero no se como puedo usar ese hecho aquí..

Answer 1

HINT $$\frac{n^2}{n!}=\frac{n^2}{n\cdot (n-1)!}=\frac{n}{(n-1)!}=\frac{n-1+1}{(n-1)!}=\frac{n-1}{(n-1)!}+\frac{1}{(n-1)!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}$$

Answer 2

Aplicar el operador $DxD$ , donde $D=\frac{d}{dx} $ , a

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n} {n!} = e^x $$

y luego sustituir $x=1$ . Ver técnicas similares .

Answer 3

Una pista:

Dejemos que $f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ Expreso $ g(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2x^{n}}{n!} $ en términos de $f'(x)$ y $f''(x)$ .

Interpretar el resultado mediante $f(x)=e^x$ .