Complemento ortogonal del complemento ortogonal

Question

Dejemos que $U$ sea un subespacio de $V$ (donde $V$ es un espacio vectorial sobre $C$ o $R$ ). El complemento ortogonal del complemento ortogonal de $U$ no es igual a $U$ en general (igual sólo para dim $V$ finito).

¿Puede alguien darme un ejemplo sencillo cuando el complemento ortogonal del complemento ortogonal de $U$ no es $U$ .

Answer 1

Dejemos que

$$V:=\left\{ f:[0,1]\to\Bbb R\;;\; f\;\;\text{is continuous}\right\}\;\;\text{over}\;\;\Bbb R$$

y con el producto interior

$$\langle f,g\rangle:=\int\limits_0^1f(x)g(x)dx$$

Dejemos que

$$U:=\{ f \in V\;;\;f(0)=0\}\implies U^\perp=\{0\}\;,\;\;U^{\perp\perp}=\ldots$$