Función continua con los no-negativo de la derivada segunda en el sentido débil es convexo

Question

Actualmente estoy trabajando a través de una sección de Peter Petersen, de la Geometría de Riemann, en la que habla de las débiles segundo derivados de las funciones. Estoy tratando de trabajar a través de los detalles de por qué una función en un colector de Riemann $(M,g)$ con un valor no negativo de Hesse en el sentido débil es convexa.

Entiendo cómo se puede reducir el problema al caso en que $M$ es la línea real con la métrica Euclidiana por la precomposición con velocidad de unidad geodesics, así que he sido capaz de reducir el problema a la siguiente:

La proposición: Vamos a $f$ ser una función continua definida en un intervalo abierto en $\mathbf{R}$. Decimos que $f''(p)\geq 0$ en sentido débil si para cada a $\varepsilon>0$ existe una función suave $f_\varepsilon$ definida en una vecindad de a $p$ tal que

(1) $f(p)=f_\varepsilon(p)$

(2) $f\geq f_\varepsilon$

(3) $f_\varepsilon''(p)\geq -\varepsilon$.

Entonces si $f''\geq 0$ en todas partes en el sentido débil, a continuación, $f$ es convexa.

He intentado durante un tiempo para venir para arriba con una dirección para mover de aquí. Mis ideas se mantienen en ejecución en el problema de que la definición de $f_\varepsilon$ sólo necesariamente tiene buenas propiedades de un pequeño barrio de $p$.

Esto hace que el enfoque ingenuo de tratar de aplicar directamente la definición de la convexidad más difícil (en comparación a cuando asumimos nuestra función en realidad es dos veces diferenciable). Dado $x_1$, $x_2$ y $t\in(0,1)$, por ejemplo, no podemos garantizar la función $f_\varepsilon$ define en torno a $p=tx_1+(1-t)x_2$ es definido aún en $x_1$ o $x_2$.

Tengo la sensación de que estoy sobre-pensar este problema. Agradecería cualquier entrada/sugerencias de nadie estaría dispuesto a ofrecer en cuanto a cómo podría proceder de aquí.

Answer 1

Me quedé atrapado exactamente en el mismo punto. Aquí es un simple argumento para probar su Proposición.

Primero de todos, usted puede reducir para probar esto:

Lema: Vamos a $f$ ser una función continua definida en un intervalo abierto en $\mathbf{R}$. Supongamos que para cada $p$ existe una función convexa $g_p$ definida en una vecindad de a $p$ tal que

(1) $f(p)=g_p(p)$

(2) $f\geq g_p$.

A continuación, $f$ es convexa.

Para deducir la Proposición de la Lema, corregir los $\epsilon>0$ y establezca $h_\epsilon(x):=\epsilon x^2$. Para cada $p$ elegir una función de $f_\epsilon$ (definido en $U_p$) como en la hipótesis y observar que $f+h_\epsilon\ge f_\epsilon+h_\epsilon$ ( $U_p$ ), con la igualdad en $p$.
Por otra parte $(f_\epsilon+h_\epsilon)''(p)\ge -\epsilon+2\epsilon>0$, por lo que wlog $g_p:=f_\epsilon+h_\epsilon$ es convexa en a $U_p$.
Ahora el Lema implica que $f+h_\epsilon$ es convexa. Como $f+h_\epsilon\to f$ (uniformemente en compactos de conjuntos) como $\epsilon\to 0$, llegamos a la conclusión de que $f$ es convexa.

La prueba del Lema: observar que $f$ es convexa en el fib, para cualquier función lineal $\phi$, el subnivel conjuntos de $\{f-\phi\le \alpha\}$ son convexas para cualquier $\alpha\in\mathbb{R}$ (dime si esto no es claro).
Así que la selección de cualquier función lineal $\phi$ y poner $F:=f-\phi$. Deje $x_1,x_2\in\{F\le\alpha\}$; tenemos que probar que $[x_1,x_2]\subseteq\{F\le\alpha\}$.
Supongamos por contradicción que $M:=\max_{[x_1,x_2]}F>\alpha$ y llame a $p\in(x_1,x_2)$ el primer punto (el intervalo) en la que $f$ es igual a $M$ ( $p:=\min f^{-1}(M)\cap [x_1,x_2]$ ). Ahora $F$ todavía satisface la hipótesis (el Lema), por lo que podemos encontrar un convexo $G:U\to\mathbb{R}$ ($U\subseteq (x_1,x_2)$ siendo un barrio de $p$) tal que $F\ge G$ con la igualdad en $p$.
Por lo $G$ alcanza su máximo a $p$ (desde $G\le F\le F(p)=G(p)$$U$); pero la convexidad fácilmente implica que $G\equiv M$ sobre todo $U$: por ejemplo, sabemos que la pendiente $s(x):=\frac{G(x)-G(p)}{x-p}$ es una función creciente en $U\setminus\{p\}$, pero $s(x)\ge 0$ si $x<p$ $s(x)\le 0$ si $x>p$ desde $G(p)$ es el valor máximo. Si se dibuja una imagen todo se vuelve claro. Por lo tanto $r\equiv 0$, lo $G\equiv M$. Por último, desde el $F\ge G$, obtenemos $F\equiv M$$U$; pero esto contradice el hecho de que $F<M$ en $[x_1,p)$. $\blacksquare$

Answer 2

He aquí un resumen de lo que creo ser una prueba. Más simples que pueden existir, pero esto es lo que se me ocurrió. Realmente no he sido meticuloso en los detalles (como se verá), pero tal vez esto te dará algunas ideas.

Lema. Si $f'' \geq 0$ en todas partes en el sentido débil, a continuación, para cada liso, compacto, admite la función$\varphi$$\mathbb{R}$$\varphi \geq 0$, $$ \int f \varphi" \geq 0. $$

Prueba de dibujo. Para cualquier $\epsilon$, demuestran que uno puede cubrir el apoyo de $\varphi$ con un número finito distinto de medio abierto intervalos de $J_1, \dots, J_k$ tales que existe para cada una de las $1 \leq i \leq k$ una función suave $f_i$ definido en $J_i$ y de satisfacciones $f \geq f_i$$f_i'' > -\epsilon$$J_i$. Estimación de la integral anterior por romperlo en integrales sobre la $J_i$ y usando integración por partes y las funciones de $f_i$.

La proposición. Si $f'' \geq 0$ en todas partes en el sentido débil, a continuación, $f$ es convexa.

Prueba de dibujo. Mediante la adición de una función lineal a $f$, es suficiente para mostrar que para$a,b \in \mathbb{R}$$f(a) = f(b) = 0$,$f(t) \leq 0$$a < t < b$.

Supongamos lo contrario. Entonces no es $c$ $a < c < b$ tal que $f(c) = C > 0$. Por el teorema del valor intermedio, existe $c_1, c_2$ $a < c_1 < c < c_2 < b$ tal que $f(c_1) = f(c_2) = C/4$. Por la continuidad, los valores de $f$ están cerca (por ejemplo,$\epsilon$) $c$ o $c/4$, respectivamente, dentro de un $\eta$-barrio de los puntos de $c$ $c_1, c_2$ respectivamente.

Ahora construye un adecuado funcionamiento $\psi$ apoyado en el $\eta$-barrios de estos tres puntos, positivo cerca de $c_1$ $c_2$ y negativo de cerca de $c$, y lo suficientemente bien controlados, de modo que (1) existe un segundo antiderivada $\varphi$ $\psi$ que es suave y de tamaño compacto, y (2) La integral de la $\int f \varphi''$ puede ser estimado (y resultó ser negativo). Junto con el lema, esto demuestra la proposición.