¿Cuál es la diferencia entre los tres tipos de logaritmos?

Question

En el análisis complejo me encontré con tres tipos de logaritmos, a saber $\ln$, $\log$ y $\text{Log}$. ¿Cuál es la diferencia entre los tres?

Answer 1

• ln es siempre un logaritmo natural (de base $e$).

• log si tiene una base como $\log_5x$ entonces la base es la especificada, de lo contrario es base $e$ o base $10$. Depende de las personas. Algunas personas (principalmente personas de secundaria) usan logaritmos sin una base como base $10$ y otras personas como base $e$. Sin embargo, se usa más a menudo como un logaritmo natural, pero hay que tener cuidado. Si ves un botón de ln en una calculadora, entonces el log sin base está garantizado que sea base 10 en la misma calculadora.

(Edit: Como señaló @ClementC., en informática, $log$ sin base suele significar un logaritmo binario.)

• Log representa el logaritmo complejo en su rama principal. La rama principal tiene su parte imaginaria en el intervalo $(−π,π]$. (Básicamente es la inversa de la función exponencial compleja con su parte imaginaria en ese intervalo.)

Answer 2

Estas son notaciones, a veces ambiguas, para denotar potencialmente diferentes tipos de logaritmos, que dependen del idioma de origen (ruso, alemán, francés), ver por ejemplo donde se usa $\lg$, incluyendo teoría de números, ya que a veces $\log_2 x$ denota el logaritmo iterado: $\log{\log{ x }}.

La notación $\ln x$ denota (casi) inequívocamente el logaritmo natural $\log_e x$ (latín: logarithmus naturalis), o logaritmo en base $e$. En francés, solía creer que la "n" significaba "népérien", de Neper o Napier.

La notación $\log x$ debería ser la notación adoptada para el logaritmo natural, y así es en matemáticas. Sin embargo, a menudo representa lo "más natural" dependiendo del campo: lo aprendí como el logaritmo en base $10$ ($\log_{10} x$) en la escuela, y a menudo se usa de esta manera en ingeniería (por ejemplo en la definición de decibeles): Y también puede representar un logaritmo en base $2$ (logaritmo binario) en cálculo binario. Este último a veces se denota lg, ld (logarithmus dualis), o lb.

$\operatorname{Log} x$ normalmente es el valor principal para un número complejo, con parte imaginaria en el intervalo $(-\pi,\pi]$. Pero, mientras en la escuela aprendí $\log x$ para $\log_{10} x$, se usaba (erróneamente) $\operatorname{Log} x$ para denotar el logaritmo natural. Tales notaciones se pueden encontrar por ejemplo en Calcul differentiel et integral. Tome 1, 1998, N. Piskounov, página 58 y ss.

Vale la pena leer la página de wikipedia Historia de los logaritmos, aunque sea para aprender el origen del nombre (un número que indica una proporción: logos, proporción, y arithmos, número), y el libro de John Napier: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripción de la Regla Maravillosa de los Logaritmos).

Answer 3

Creo que si $z=re^{i\theta}$ entonces $\log z=\ln r+i\theta$. Ahora, si en el argumento $\theta,n=1$ entonces "$\log$" se convierte en "Log". Además, "$\ln$" generalmente se usa con la parte real del número complejo según las notaciones utilizadas por C.V.Churchill