Intento de prueba $e^x$ es continua en $\Bbb{R}$

Question

He visto algunas pruebas de la continuidad de $e^x$ (en $\Bbb{R}$ ), y me gustaría ver si mi opinión sobre esta prueba es correcta.
Para cualquier $\epsilon>0$ elegimos $\delta=\ln(\frac{\epsilon}{e^c}+1)$ y $x,c\in\Bbb{R}$ . Para $0<|x-c|<\delta$ tenemos
\begin{align} |e^x-e^c| & = e^c|e^{x-c}-1|\\ & < e^c|e^{\ln(\frac{\epsilon}{e^c}+1)}-1|\\ & = e^c|\frac{\epsilon}{e^c}+1-1|\\ & = e^c|\frac{\epsilon}{e^c}|\\ & = \epsilon \end{align} $\therefore |e^x-e^c|<\epsilon$ cuando $0<|x-c|<\delta$ y $\delta=\ln(\frac{\epsilon}{e^c}+1)$ lo que implica que $e^x$ es continua en $\Bbb{R}$ .
Se agradece cualquier corrección sobre esta prueba.

Answer 1

Esto funciona si $x\gt c$ . Si $x\lt c$ Considera que $|e^c-e^x|$ en su lugar.