¿El $$ \sum_{n\ =\ 1}{n!\over \left(\,\sqrt{\,2\,}\, + 1\,\right) \left(\,\sqrt{\,2\,}\, + 2\,\right)\ldots \left(\,\sqrt{\,2\,}\, + n - 1\,\right)\left(\,\sqrt{\,2\,}\, + n\,\right)}\quad $$ converge o diverge?
He utilizado el criterio de D'Alambert, pero da $D = 1$ y no tengo idea de qué otro criterio podría utilizar.
Pista ya que $$a_{n}=\dfrac{n!}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+2)\cdots(\sqrt{2}+n)}$$ $$\Longrightarrow \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}=\dfrac{n!}{(n+1)!}\cdot\dfrac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+2)\cdots (\sqrt{2}+n+1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+2)\cdots(\sqrt{2}+n)}=\dfrac{\sqrt{2}+n+1}{n+1}$$ puedes considerar Prueba de la razón $$\lim_{n\to\infty}n\left(\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\left(\dfrac{\sqrt{2}+n+1}{n+1}-1\right)=\sqrt{2}>1$$ así que converge
¡Buena solución! Solo una nota breve: no estamos utilizando la prueba de la razón normal, sino más bien una extensión que se llama prueba de Raabe.
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Esta suma, de hecho, tiene una forma cerrada: es simplemente $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=1+\sqrt{2}$. He escrito una solución que muestra esto aquí.