Cómo encontrar la antiderivada de $\sqrt{25-x^2}$ ?
¿Cómo puedo hacerlo? La integración por sustitución no parece funcionar en este caso.
Respuestas
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Una sustitución trigonométrica puede servir. Tenga en cuenta que $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$ .
Dejemos que $x = 5\sin\theta$ con $-\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}$ . Entonces $$\sqrt{25-x^2} = \sqrt{25-25\sin^2\theta} = 5\sqrt{\cos^2\theta} = 5|\cos\theta| = 5\cos\theta$$ (con la última igualdad porque con $-\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}$ tenemos $\cos\theta\geq 0$ .
También tenemos $dx = 5\cos\theta d\theta$ . Así que $$\begin{align*} \int\sqrt{25-x^2}\,dx &= \int5\cos\theta 5\cos\theta\,d\theta\\ &= 25\int\cos^2\theta\,d\theta. \end{align*}$$ La integral de $\cos^2\theta$ puede hacerse utilizando la integración por partes o una fórmula de reducción. A continuación, convierta de nuevo a $x$ .
Oli
Puntos
89
A menudo utilizamos las antiderivadas para calcular el área. Por diversión, vamos a utilizar el área para calcular una antiderivada.
Queremos encontrar una función $F(w)$ tal que $F'(w)=\sqrt{25-w^2}$ .
Dejemos que $F(w)$ sea el área bajo la curva $y=\sqrt{25-x^2}$ , por encima de la $x$ -eje, de $x=0$ a $x=w$ . Entonces $F(w)$ es una antiderivada de $\sqrt{25-w^2}$ .
Encontramos esta zona $F(w)$ . Dibuja el círculo $x^2+y^2=w$ . Dejemos que $O$ sea el origen, y que $W$ sea el punto $(w,0)$ y que $Y$ sea el punto $(0,5)$ . Dibuja una línea vertical a través de $W$ y supongamos que se encuentra con la mitad superior del círculo en $P$ .
Entonces el área $F(x)$ es el área de $\triangle OWP$ más el área del sector circular $OPY$ .
Es fácil ver que $\triangle OWP$ tiene área $$\frac{1}{2}w\sqrt{25-w^2}, \tag{$ 1 $}$$ ya que tiene base $w$ y la altura $\sqrt{25-w^2}$ .
Así que ahora sólo tenemos que encontrar el área del sector circular $OPY$ . El ángulo del sector es $\pi/2$ menos el ángulo cuyo coseno es $w/5$ . Para decirlo en términos más estándar, el ángulo es $\arcsin(w/5)$ . El radio del círculo es $5$ por lo que el área del sector circular $OPY$ es $$\frac{1}{2}(5^2)\arcsin(w/5). \tag{$ 2 $}$$
Por último, añada $(1)$ y $(2)$ para encontrar una antiderivada de $\sqrt{25-w^2}$ .
