Derivado de la Determinante Mapa

Question

Para$ V= ( V_1, V_2) $$ W= ( W_1, W_2) $, dado un factor determinante para el mapa de $ \det : \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ define como $ \det (V,W)= V_1W_2-V_2W_1$. Entonces tiene que encontrar la derivada de la determinante mapa en $( V, W)\in R^2$ evaluado en $(H,K)\in \mathbb{R}^2$ .

Por favor me ayudan con esta terminología.

Me parece que si $ U= V_1W_2-V_2W_1$, a continuación, derivado de la $U = V_1W_2-V_2W_1$. (mediante el Jacobiano de la técnica) Entonces, en ese caso

derivado de la U en $(H, K) = \det (H, K)$.

Answer 1

Escriba su función de $U(V_1,V_2,W_1,W_2) = V_1 W_2-V_2 W_1$. A continuación, sólo calcular las derivadas parciales: $\frac{\partial U(V_1,V_2,W_1,W_2)}{\partial V_1} = W_2$, $\frac{\partial U(V_1,V_2,W_1,W_2)}{\partial V_2} = -W_1$, $\frac{\partial U(V_1,V_2,W_1,W_2)}{\partial W_1} = - V_2$, $\frac{\partial U(V_1,V_2,W_1,W_2)}{\partial W_2} = V_1$. Así, la derivada en $(H,K)$ es $$\begin{bmatrix} K_2 & -H_2 \\ -K_1 & H_1\end{bmatrix}.$$

Nota: Mi respuesta alguna elaboración.

La derivación es correcta, pero la expresión de la respuesta de las necesidades de algunos elaboración. La derivada es lineal en el mapa de $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Para evaluar la derivada en una dirección en particular ($(H,K)$ en este ejemplo) de la expresión anterior debe ser multiplicado las componentes de los correspondientes componentes de la dirección.

La derivada de $\det$ evaluado en $(V,W)$ en la dirección $(H,K)$ está dado por $\frac{\partial U(V_1,V_2,W_1,W_2)}{\partial V_1} H_1+\frac{\partial U(V_1,V_2,W_1,W_2)}{\partial V_2} H_2 +\frac{\partial U(V_1,V_2,W_1,W_2)}{\partial W_1} K_1 +\frac{\partial U(V_1,V_2,W_1,W_2)}{\partial W_2} K_2$, que se simplifica a $W_2 H_1-W_1 H_2-V_2 K_1+V_1 K_2 = \det(H,W)+\det(V,K)$.