Me estoy preparando para un examen de calificación en el otoño, y estoy intentando el siguiente ejercicio:
Deje $n\geq 1$ y $$ \big\{f_i\,:\,X\to\mathbb{R}\,|\,i=1,\ldots ,n\big\} $$ ser finito, de la familia de funciones continuas tales que, para cada par de puntos distintos $x,y\in X$ existe $i,\,1\leq i\leq n$,$f_i(x)\neq f_i(y)$. Mostrar que $X$ es homeomórficos a un subespacio de $\mathbb{R}^n$
Creo que tengo una prueba (siéntase libre de desplazarse pasado):
Mi Intento
Deje $F:X\to\mathbb{R}^n$ sea la función dada por $$ F(x)=\big(f_1(x),\ldots , f_n(x)\big). $$ Supongamos que $F(x)=F(y)$. Entonces $$ \big(f_1(x),\ldots , f_n(x)\big)=\big(f_1(y),\ldots , f_n(y)\big) $$ y $f_i(x)=f_i(y)$ por cada $i$. Si $x\neq y$, este sería directamente contradice nuestra suposición en el $f_i$, lo $x=y$ $F$ es inyectiva, y por lo tanto bijective en su imagen, que es un subespacio de $\mathbb{R}^n$.
Si $(p_1,\ldots, p_n)\in\mathbb{R}^n$ $U\subset\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto que contiene a $p$, entonces a través de la topología producto existe una $\varepsilon>0$ tal que $$ \Delta=\underbrace{(p_1-\varepsilon, p_1+\varepsilon)\times\cdots\times(p_n-\varepsilon, p_n+\varepsilon)}_{n\text{-veces}}\subconjunto de U, $$ y puesto que el $f_i$ son continuas, cada una de las $f_i^{-1}(p_i-\varepsilon,p_i+\varepsilon)$ está abierto en $X$. Pretendemos que $$ F^{-1}(\Delta)=\bigcap_{i=1}^{n}f_i^{-1}(p_i-\varepsilon,p_i+\varepsilon). $$ Si $u\in F^{-1}(\Delta)$, $|f_i(u)-p_i|<\varepsilon$ todos los $i$ y la dirección de avance es probado (el primero es un subconjunto de la segunda). Si $v\in\bigcap_{i=1}^{n}f_i^{-1}(p_i-\varepsilon,p_i+\varepsilon)$, $|f_i(v)-p_i|<\varepsilon$ todos los $i$. Por lo tanto $v\in F^{-1}(\Delta)$ y la dirección de retroceso está demostrado (el último es un subconjunto de la anterior). Desde $F^{-1}(\Delta)$ es una intersección de un número finito de abiertos los conjuntos, es abierto, y por lo tanto, $F$ es continua
Por último, cualquier bijective y mapa continuo de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff es un homeomorphism, por lo que estamos por hacer.
Preguntas
Mi inquietud es esta: yo no creo que la he utilizado la hipótesis de que la $X$ fue Hausdorff, lo que conduce a mí creo que he cometido un error en alguna parte. Esta es una pregunta de un calificador (tiempo de prueba), así que tal vez no fueron las hipótesis añadido para hacer una prueba más fácil y así en menos tiempo? Es que este es un método correcto de la prueba? Gracias
