Para la función medible con $h(x+a)=h(x)$ casi en todas partes existe $g=h$ donde se mantiene para todos $x$

Question

Disculpe la pregunta, me ha resultado difícil redactarla de forma compacta.

Digamos que tengo $a \in \mathbb{R}^n\backslash \{0\}$ y $h: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ y $$h(x+a)=h(x)$$ para casi todos los $x$ ( es decir, hasta un conjunto de medida cero ) y donde h es medible.

Quiero mostrar entonces, que existe $ g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ y $g(x+a)=g(x)$ para TODOS $x$ y también $h=g$ casi en todas partes.

No estoy buscando una solución pero nunca he hecho un ejercicio de este tipo antes y no estoy seguro de cómo enfocarlo. Así que estoy pensando que primero tenemos que definir un conjunto, es decir $A:= \{x \in\mathbb{R}^n | h(x) \neq h(x+a)\}$

y luego una función $$ g(x)= \begin{cases} h(x) &x \not\in A \\ h(x+a) &x \in A \end{cases} $$

y en realidad, no debería $g$ ¿tiene ahora todas las propiedades deseadas? No creo que el ejercicio sea tan sencillo y sí creo que tengo que utilizar la mensurabilidad de $f$ en alguna parte, pero no veo por qué ni cómo.

¿Es correcto mi planteamiento? Si no lo es, ¿cómo puedo enfocarlo?

Answer 1

Con su definición de $g(x)$ tenemos $g(x)\ne g(x+a)$ siempre que $x+a\in A.$ En concreto, si $x+a\in A,$ entonces $g(x+a)=h(x+2a)\ne h(x+a).$ Ahora hay dos casos:
$$x\in A\implies g(x)=h(x+a);$$ $$x\notin A\implies g(x)=h(x)=h(x+a);$$ de cualquier manera, $g(x)=h(x+a)\ne g(x+a).$

Así es como yo lo haría:

Dejemos que $A=\{x:h(x)\ne h(x+a)\}.$ Definir $$g(x)=\begin{cases} 0&\text{ if }\ x\in A+\{na:n\in\mathbb Z\},\\ h(x)&\text{ if }\ x\notin A+\{na:n\in\mathbb Z\}. \end{cases}$$ Entonces $g(x)=h(x)$ casi en todas partes porque $A$ tiene medida cero, y lo mismo ocurre con $A+\{na:n\in\mathbb Z\},$ siendo la unión de un número contable de traslados de $A.$

Si $x\in A+\{na:n\in\mathbb Z\}$ entonces $x+a\in A+\{na:n\in\mathbb Z\}$ y $g(x)=0=g(x+a).$

Si $x\notin A+\{na:n\in\mathbb Z\}$ entonces $x+a\notin A+\{na:n\in\mathbb Z\}$ y $g(x)=h(x)=h(x+a)=g(x+a).$