Perdido en los índices!

Question

Estoy tratando de derivar de la Lagrangiana

$$L=\frac{1}{2}\sum_{i,j}g_{ij}\,\dot{x}^i\dot{x}^j,$$

la geodésica ecuaciones

$$\ddot{x}^k+\sum_{i,j}\left(\frac{1}{2}\sum_lg^{kl}\left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)\right)\dot{x}^i\dot{x}^j=0.\tag{1}$$

Así,

$$\frac{\partial L}{\partial x^l}=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j,$$

y

$$\begin{align*}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^l}&= \frac{1}{2}\sum_{i,j}\Big(g_{lj}\dot{x}^j+g_{il}\dot{x}^i\Big)\\ &=\frac{1}{2}\sum_k\left(g_{lk}\dot{x}^k+g_{kl}\dot{x}^k\right)\\ &=\sum_k g_{kl}\dot{x}^k,\end{align*}$$

desde $g_{ij}=g_{ji}$. La sustitución de estos en el de Euler-Lagrange ecuación da (donde el punto indica una derivada respecto a $\tau$)

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^l}\right) &=\frac{\partial L}{\partial x^l}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\sum_k g_{kl}\dot{x}^k\right) &=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j. \end{align*}$$

Aquí es donde mis problemas comienzan! La evaluación de la derivada da

$$\sum_k\left(\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\dot{x}^i\dot{x}^k+g_{kl}\ddot{x}^k\right) =\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j$$ Ahora, era apropiado aquí para tomar la derivada parcial con respecto a $x^i$ o podría/debería haber elegido otro gratis índice; es decir, $j$ o $l$? (No creo que yo pueda elegir $l$ como se utiliza en la métrica - o puedo?!)

Moviéndose, lo he intentado dividir la LHS de una manera similar a algo que vi en otro post:

$$\sum_i \frac{1}{2}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^k}\dot{x}^k\dot{x}^i + \sum_k\left(\frac{1}{2}\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\dot{x}^i\dot{x}^k+g_{kl}\ddot{x}^k\right) =\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j,$$

y multiplicando por la inversa de la métrica da

$$\sum_i \frac{1}{2} g^{lc} \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k}\dot{x}^k\dot{x}^i + \sum_k\left(\frac{1}{2} g^{lc} \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\dot{x}^i\dot{x}^k+g^{lc} g_{kl}\ddot{x}^k\right) =\frac{1}{2}\sum_{i,j} g^{lc} \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j.$$

No estoy seguro de cómo proceder, desde aquí para obtener el formulario de $(1)$. También, ¿ésta es la correcta?

$$\sum_k g^{lc} g_{kl}\ddot{x}^k$$

Estoy seguro de que he leído en alguna parte que usted no puede tener el chupete índice repetido más de dos veces en un plazo.

Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

Tenga en cuenta que en $$\sum_k\left(\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\dot{x}^i\dot{x}^k+g_{kl}\ddot{x}^k\right) =\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j$$ has perdido una suma de $i$. Debe ser $$\sum_k\left(\sum_i \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\dot{x}^i\dot{x}^k+g_{kl}\ddot{x}^k\right) =\frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j$$ es decir, $$\sum_{i,k} \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\dot{x}^i\dot{x}^k + \sum_k g_{kl}\ddot{x}^k = \frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j$$

Aquí, debido a la simetría de $i$$k$$\dot{x}^i\dot{x}^k$, la derivada parcial de $g$ puede ser simétrico: $$\sum_{i,k} \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i}\dot{x}^i\dot{x}^k = \frac12 \sum_{i,k} \left( \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} \right) \dot{x}^i\dot{x}^k$$

Así tenemos $$\frac12 \sum_{i,k} \left( \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^k} \right) \dot{x}^i\dot{x}^k + \sum_k g_{kl}\ddot{x}^k = \frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\,\dot{x}^i\dot{x}^j$$ la cual puede escribirse como $$\sum_k g_{kl}\ddot{x}^k + \frac12 \sum_{i,j} \left( \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l} \right) \dot x^i \dot x^j = 0$$