Ecuación de la tangente a un círculo dado la pendiente y la ecuación de la circunferencia

Question

Mi profesor de matemáticas me dijo que este problema era imposible sin el conocimiento de la diferencia implícita: es ella ¿cierto?

Se da la ecuación de la circunferencia $\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2=16$ , ¿cuáles son las ecuaciones de las líneas con un gradiente de 2 que son tangentes de este círculo.

Aquí es una visualización del problema

El círculo rojo es la que se describe, y las líneas verdes y azules son las ecuaciones que estoy buscando.

Creo que la solución va a tener algo que ver con enchufar el valor de 2 en algún tipo de ecuación para el degradado es decir $2=\frac{x-x_0}{y-y_0}$ , y, a continuación, el discriminante de la ecuación que se usa para encontrar donde se intersectan puede ser resuelto a encontrar los valores de $x$ , pero no estoy seguro de cómo encontrar estos valores sin utilizar cualquier garantía implícita de diferenciación puede hacerse?

EDITAR:

Ok, así que ahora voy a tratar de ejecutar este paso a paso hasta que encuentre otro problema:

Así que podemos decir que hay una línea (el diámetro) de gradiente -1/2 que pasa por el centro (-2,2):

$y=mx+c$

$y=-\frac{1}{2}x+c$

$2=1+c$

$y=-\frac{1}{2}x+1$

También podemos decir que una solución se encuentra en el punto de $(a,b)$ tal que

$\left(a+2\right)^2+\left(b-2\right)^2=16$ $b=-\frac{1}{2}a+1$

Por lo que podemos sustituir b en la ecuación del círculo para llegar a

$\left(a+2\right)^2+\left(-\frac{1}{2}a-1\right)^2=16$

que simplifica hacia abajo para

$\frac{5}{4}a^2+5a-11=0$

y resuelve dar $\frac{2}{5}\left(-5-4\sqrt{5}\right)$ $\frac{2}{5}\left(4\sqrt{5}-5\right)$

así que estos son los posibles valores de $x$

Ahora si puedo sustituir 1 de estas de vuelta en la ecuación, voy a obtener dos valores de $y$ para el valor de $x$ porque es cuadrática, pero solo hay 1 punto de intersección en cada valor de $x$ , ¿qué debo hacer en este momento?

EDIT 2:

Parece que tanto los puntos de intersección de la línea de $x=\frac{2}{5}\left(4\sqrt{5}-5\right)$ corresponden a la $y$ de los valores de los puntos de intersección de las tangentes, esto significa que sólo necesita conectar uno de estos $x$ los valores en la ecuación? Visualización para mostrar lo que quiero decir (la línea azul que aparece a cortar el círculo en tanto el correspondiente $y$ valores)

Answer 1

Desde una tangente a una circunferencia es perpendicular al círculo de radio en el que los puntos, estamos buscando puntos de $\;(a,b)\;$ sobre el círculo que la radio a través de ellos tiene un gradiente (pendiente) de $\;-\frac12\;$ , así: como el círculo del centro es $\;(-2,2)\;$ , la pendiente a partir de este punto a $\;(a,b)\;$ es

$$\frac{b-2}{a+2}=-\frac12\implies -2b+4=a+2$$

pero también tenemos

$$(a+2)^2+(b-2)^2=16\implies16=(-2b+4)^2+(b-2)^2=5(b-2)^2\implies$$

$$b-2=\pm\frac4{\sqrt5}\implies b=2\pm\frac4{\sqrt5}$$

y ahí tienes la $\;y\,-\,$ coordenadas de los puntos. Ahora encontrar el $\;x\,-\,$ coordenadas y eso es todo, ya que una vez que se tienen los puntos que usted puede alreayd escribir las líneas a través de ellos ya que tiene la pendiente (gradiente): $\;2\;$

No cálculo del todo necesario...aunque, tal vez, podría hacer que las cosas ligeramente más sencillo y más rápido.

Answer 2

$$ (x+2)^2 + (y-2)^2 = 16 $$ $$ \Rightarrow x^2 + y^2+4x-4y+4+4 = 16 $$ $$ \Rightarrow x^2 + y^2+4x-4y-8= 0 $$ $$ centre =(-2,2) radius=4 $$ para la tangente de la línea debe satisface la condición, $r=d$ tenemos la línea de $y=2x+c$ aquí gradiente =2 necesidad de encontrar c=? $$ \pm4 =\frac {2(-2)-2+c}{2^2+1} $$ $$ \pm 20 =-6 +c$$ $$ c= 26,-14$$ ahora las tangentes se $y=2x+26$ $$y=2x-14$$ se requiere tangentes