Problema: Escribe en forma explícita el mapa de Poincare para $\ddot x+\delta\dot x+\omega_0^2x=\gamma\cos\omega t$ .
Encuentra los puntos estacionarios y examina su estabilidad.
Un intento de solución:
La ecuación característica de la ecuación homogénea es $z^2+\delta z+\omega_0^2=0$
Sus raíces son $$z_{1,2}=\frac{-\delta\pm\sqrt{\delta^2-4\omega_0^2}}{2}$$
La solución de la ecuación diferencial homogénea es la siguiente $$x(t)=Ae^{z_1t}+Be^{z_2t}$$
Utilicemos ahora el método de los coeficientes indeterminados para encontrar una solución particular de la siguiente manera:
Buscaremos una solución de la forma $$x_p(t)=a\gamma\cos\omega t + b\gamma\sin\omega t$$
Entonces $$\dot x_p(t)=-a\omega\gamma\sin\omega t + b\omega\gamma\cos\omega t,$$ $$\ddot x_p(t)=-a\omega^2\gamma\cos\omega t - b\omega^2\gamma\sin\omega t$$
Sustituyendo obtenemos $$-a\omega^2\gamma\cos\omega t - b\omega^2\gamma\sin\omega t + \delta(-a\omega\gamma\sin\omega t + b\omega\gamma\cos\omega t)+\omega_0^2(a\gamma\cos\omega t + b\gamma\sin\omega t)=\gamma\cos\omega t$$
Igualando los coeficientes, obtenemos el siguiente sistema: $$-a\omega^2+b\delta\omega+\omega_0^2a=1$$ $$-b\omega^2-a\delta\omega+\omega_0^2b=0$$
Por lo tanto, $$a=\frac{\omega_0^2-\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(\delta\omega)^2}\land b=\frac{(\delta\omega)^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(\delta\omega)^2}$$
Ahora la solución general es $$Ae^{z_1t}+Be^{z_2t}+a\gamma\cos\omega t + b\gamma\sin\omega t$$
Consideremos las condiciones iniciales $x(0)=x_0, \dot x(0)=y_0$ .
Utilizando las condiciones iniciales, obtenemos $$A=x_0-a\gamma-B, \quad B=\frac{y_0-x_0z_1+a\gamma z_1-b\gamma\omega}{z_2-z_1}$$
Sustituir $\theta$ con $\omega t$ Ahora escribamos la ecuación como un sistema autónomo: $$\dot x=y$$ $$\dot y=-\delta y-\omega^2_0x+\gamma\cos\theta$$ $$\dot\theta=\omega (\text{mod}\quad 2\pi)$$
WLOG podemos considerar $\theta(0)=0$ . Entonces el flujo es $\phi^t(x_0,y_0,0)=(x(t),y(t),\omega t)$ .
La sección es $\Gamma^0=\{(x,y,\theta):\theta=0\}$ .
Finalmente el mapa de Poincare es $P(x_0,y_0)=(x(\frac{2\pi}{\omega}),y(\frac{2\pi}{\omega}))$ .
Quiero examinar la estabilidad de todas las soluciones periódicas correspondientes a puntos fijos del mapa de Poincare. Encontrar los puntos fijos me parece ahora imposible. Necesito ayuda al respecto. Además, ¿cómo podría hacer para encontrar las matrices fundamentales de las soluciones periódicas respctivas y las respectivas matrices de monodromía? Agradecería cualquier ayuda.
