He estado trabajando a través de Federico Ardila en línea de álgebra de Hopf conferencias y espera a comprobar mi entendimiento tan lejos por la construcción de la álgebra de Hopf de un grupo muy pequeño anillo de cero. Pero he fallado, que me ha dejado en un estado de perplejidad.
Elegí $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$\mathbb{k}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Así que mi anillo de grupo $\mathbb{k}G$ es el conjunto de todos formal $\mathbb{k}$-de las combinaciones lineales de los dos elementos de la $G$ (voy a llamar a $e$ $a$ para evitar la confusión con los coeficientes, lo que voy a escribir como 0, 1, 2).
En la parte superior de esta estructura tenemos:
- La multiplicación como se define aquí.
- Comultiplication como $r\mapsto r\otimes r$, para cada una de las $r\in \mathbb{k}G$
- La unidad de medida $g\mapsto 1_\mathbb{k}$$g\in G$), incrementó linealmente (así, por ejemplo, los mapas de $2e + a\mapsto 2 + 1 = 3 = 0 \mod 3$)
- El counit como $\lambda \mapsto \lambda e$ todos los $\lambda\in \mathbb{k}$
- La antípoda como $g\mapsto g^{-1}$, extendida en forma lineal. Pero en este caso, esa es la identidad.
Con estas definiciones, yo esperaba que este diagrama conmuta:
pero es intermitente no. Ejemplo:
- A lo largo de la parte superior de ruta: $(e + a)\to (e + a)\otimes (e + a)\to (e + a)\otimes (e + a)\to (2e + 2a)$
- A través de la media: $(e + a)\to 2\to (2e)$.
Y es obvio por qué: los productos en el anillo de grupo no siempre aniquilar a la $a$ elemento, pero el counit-unidad de secuencia. Así que esto nunca podría trabajar.
Espero haber explicado lo que he hecho en bastante detalle que lo fundamental cosa yo lo he entendido mal no está elidida en el proceso. Tengo la esperanza de que alguien sea amable y paciente lo suficiente como para desmontar y a la cosa que yo he estúpidamente mal entendido!
