Seminormas y definición de la topología débil

Question

Cuando buscaba la definición de la topología débil, encontré dos definiciones diferentes. Una define la topología débil en términos de una familia de seminormas, mientras que la otra la define en términos de la imagen inversa de subconjuntos abiertos del campo base $ \mathbb{K} $ bajo funcionales lineales continuos.

Mis preguntas son:

1. ¿Son equivalentes las dos definiciones y, en caso afirmativo, cómo? Si no son equivalentes, ¿cuál es la definición común de la topología débil?

2. Para la primera definición (en términos de seminormas), ¿cómo podemos definir los conjuntos abiertos si no tenemos una única seminorma fija?

3. Para la segunda definición, por "subconjuntos abiertos de $ \mathbb{K} $ nos referimos a los conjuntos abiertos que pertenecen a la topología habitual en $ \mathbb{K} $ ?

4. El espacio dual topológico de $ X $ se define como el conjunto de funciones lineales continuas definidas en $ X $ . ¿Es esta continuidad con respecto a cada topología o sólo una fija?

Estoy muy confundido. ¿Podría alguien ayudarme a entender la definición de la topología débil? Gracias.

Answer 1

En lo que sigue, $ \mathbb{F} $ denotará $ \mathbb{R} $ o $ \mathbb{C} $ . La topología euclidiana estándar en $ \mathbb{F} $ se denotará por $ \tau_{\mathbb{F}} $ .

Es importante saber que la topología débil en un espacio vectorial $ V $ en $ \mathbb{F} $ sólo puede definirse después de ya hemos dotado $ V $ con una topología lineal, es decir, una topología sobre $ V $ que hace que la suma de vectores y la multiplicación escalar sean operaciones continuas. Por lo tanto, cuando se habla de "topología débil", siempre es con respecto a una topología lineal existente.

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Lo que nos dan las seminormas

Dejemos que $ V $ sea un espacio vectorial abstracto sobre $ \mathbb{F} $ et $ \mathcal{P} $ una familia de seminormas sobre $ V $ . Podemos definir una topología en $ V $ declarando que su base está formada por subconjuntos de $ V $ de la forma $$ \{ v \in V ~|~ {p_{1}}(v - x) < \epsilon ~ \land ~ \ldots ~ \land ~ {p_{n}}(v - x) < \epsilon \}, $$ donde

• $ x \in V $ ,

• $ \epsilon > 0 $ y

• $ n \in \mathbb{N} $ et $ (p_{1},\ldots,p_{n}) $ es un $ n $ -tupla de seminormas procedentes de $ \mathcal{P} $ .

Esta topología se denomina topología seminormal correspondiente a $ \mathcal{P} $ y se puede demostrar que es una topología lineal en $ V $ . Cuando equipamos $ V $ con una topología seminormal, llamamos $ V $ a espacio localmente convexo .

Como puedes ver, las seminormas (tanto si hay una sola como si hay muchas) nos permiten crear una topología lineal para $ V $ cuando antes no había ninguna. Su construcción no depende en absoluto en la topología débil, que viene sólo después de .

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Construcción de la topología débil a partir de una topología lineal existente

La topología débil de un espacio vectorial sobre $ \mathbb{F} $ sólo puede definirse después de haber equipado el espacio vectorial con algunos topología lineal, por ejemplo la topología localmente convexa que se definió en la sección anterior.

Supongamos que $ V $ es un espacio vectorial dotado de una topología lineal $ \tau $ . Sea $ V^{*} $ denotan el conjunto de $ \tau $ -funcionales lineales continuas en $ V $ es decir, funciones lineales continuas $ \varphi: (V,\tau) \to (\mathbb{F},\tau_{\mathbb{F}}) $ . El topología débil en $ V $ con respecto a $ \tau $ se define como la topología más pequeña $ \tau_{\text{wk}} $ en $ V $ de manera que el mapeo $ \varphi: (V,\tau_{\text{wk}}) \to (\mathbb{F},\tau_{\mathbb{F}}) $ sigue siendo continua para todos los $ \varphi \in V^{*} $ .

Podemos encontrar una sub-base de $ \tau_{\text{wk}} $ que consiste en subconjuntos de $ V $ de la forma $ {\varphi^{\leftarrow}}[U] $ , donde $ \varphi \in V^{*} $ et $ U \in \tau_{\mathbb{F}} $ .

Tenga en cuenta que $ \tau_{\text{wk}} $ es una topología más débil que $ \tau $ es decir, $ \tau_{\text{wk}} \subseteq \tau $ . Tenga en cuenta también que $ \tau_{\text{wk}} $ es una topología lineal en $ V $ .

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¡Espera! ¡La topología débil es en realidad una topología semi-norma!

He mencionado en la sección anterior que la topología débil llega sólo después de que tengamos una topología lineal. Aquí viene la parte complicada. En realidad podemos construir la topología débil como la topología semi-norma correspondiente a alguna familia $ \mathcal{P} $ de seminormas. Sin embargo, $ \mathcal{P} $ no es un conejo sacado de un sombrero vacío. Para definir $ \mathcal{P} $ En primer lugar, necesitamos tener una topología lineal. Aquí está la fuente de su confusión:

La topología débil es, en efecto, una topología seminormal, pero no se puede empezar a describir las seminormas hasta que se haya puesto una topología lineal en el espacio vectorial.

Como antes, dejemos $ V $ sea un espacio vectorial sobre $ \mathbb{F} $ equipado con una topología lineal $ \tau $ . Para cada $ \varphi \in V^{*} $ definan una semi-norma $ p_{\varphi}: V \to [0,\infty) $ de la siguiente manera: $$ \forall v \in V: \quad {p_{\varphi}}(v) \stackrel{\text{def}}{=} |\varphi(v)|. $$ Entonces $ \tau_{\text{wk}} $ tal como se construyó en la sección anterior es en realidad la topología seminormal correspondiente a la familia $ \{ p_{\varphi} ~|~ \varphi \in V^{*} \} $ .

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Motivación de la topología débil

Como ya tenemos $ \tau $ Entonces, ¿por qué es necesario crear $ \tau_{\text{wk}} $ ? Piénsalo así. La topología original $ \tau $ puede contener más conjuntos abiertos de los que son realmente necesarios para que cada $ \varphi \in V^{*} $ continua. Por lo tanto, podemos permitirnos el lujo de desechar algunos conjuntos abiertos de $ \tau $ sin afectar a la continuidad del $ \varphi $ 's. Descartando estos conjuntos abiertos innecesarios y haciendo la topología más pequeña, podemos dotar de alguna manera $ V $ con ciertas propiedades topológicas agradables. Por ejemplo, con conjuntos menos abiertos, algunos subconjuntos de $ V $ se convierten automáticamente en subconjuntos compactos.

Para ilustrarlo mejor, consideremos el Teorema de Kakutani, que afirma que un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si su bola unitaria cerrada es compacta con respecto a la topología débil. Para los espacios de Banach de dimensión infinita, la bola unitaria cerrada es nunca compacta con respecto a la norma-topología, lo que es una consecuencia del Lemma de Riesz. Sin embargo, al pasar a la topología débil, se puede recuperar la compacidad de la bola unitaria cerrada, lo cual es ciertamente el caso precisamente cuando el espacio de Banach es reflexivo, según el resultado de Kakutani. Por lo tanto, la topología débil nos da una caracterización completa de la reflexividad, y esto es una prueba clara de su utilidad.

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Conclusión - $ V $ Por diseño

Vimos un espacio vectorial abstracto desnudo $ V $ que necesitaba un equipo topológico. Cubrimos su vergüenza dándole una topología lineal. $ V $ nos suplicó: "¡Por favor, respetad mis seminormas si queréis topologizarme!". Después de vestirla, $ V $ se examinó en el espejo y exclamó encantada: "¡Me veo bien con todos mis funcionales lineales!". La miramos de arriba a abajo, sacudimos la cabeza y le dijimos: "No. Sigues estando un poco holgada. Pero no te preocupes. Podrás conservar tus funcionales lineales". Después de quitarle los conjuntos abiertos que le sobraban, todos concluimos que $ V $ La débil topología minimalista de la empresa era impresionante.

Answer 2

Recordemos dos definiciones (en negrita la terminología de Narici & Beckenstein ).

Topología Seminorma. Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial y que $\mathcal{P}=\{p_i\}_{i\in I}$ sea una familia de seminormas sobre $X$ . El topología seminormal en $X$ generado por $\mathcal{P}$ es la topología generada por los conjuntos de la forma $\{x\in X\mid p_i(x-x_0)<\varepsilon\}$ , donde $i\in I$ , $x_0\in X$ et $\varepsilon>0$ .

Topología inversa de la imagen. Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío y que $\mathcal{F}=\{f_i:X\to Y_i\}_{i\in I}$ sea una colección de mapas, donde cada $Y_i$ es un espacio topológico. El topología de imagen inversa en $X$ generado por $\mathcal{F}$ es la topología generada por los conjuntos de la forma $f_i^{-1}(A_i)$ , donde $i\in I$ et $A_i$ está abierto en $Y_i$ .

Trabajando un poco con las bases llegamos a la conclusión de que la topología inversa de la imagen en $X$ generado por $\mathcal{F}$ es, de hecho, la topología generada por los conjuntos de la forma $f_i^{-1}(B_i)$ , donde $i\in I$ et $B_i$ se ejecuta sobre una base de $Y_i$ . En particular, si $Y_i=\mathbb{K}$ para todos $i\in I$ ( $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ ), entonces la topología de la imagen inversa está generada por los conjuntos de la forma $f_i^{-1}(B(y;\varepsilon))$ , donde $i\in I$ , $y\in Y_i$ et $\varepsilon>0$ . De hecho, podemos probar más:

Propuesta. Si $Y_i=\mathbb{K}$ para todos $i\in I$ ( $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ ), entonces una subbase para la topología de la imagen inversa consiste en todos los conjuntos de la forma $$f_i^{-1}(B(f_i(x_0);\varepsilon))=\{x\in X\mid|f_i(x)-f_i(x_0)|<\varepsilon\},$$ donde $i\in I$ , $x_0\in X$ et $\varepsilon>0$ . (Ver Brezis , página 57, para la prueba del caso $\mathbb K=\mathbb R$ .)

Ahora, dejemos que $X$ sea un espacio normado, $X^*$ sea el dual de $X$ et $\mathcal{P}=\{p_i\}_{i\in X^*}$ sea la familia de seminormas sobre $X$ definido por $p_i(x)=|i(x)|$ . Entonces el topología seminormal en $X$ generado por $\mathcal{P}$ es igual al topología de imagen inversa en $X$ generado por $X^*$ porque, a partir de la primera definición y de la proposición anterior, la colección de conjuntos de la forma $$\{x\in X\mid p_i(x-x_0)<\varepsilon\}=\{x\in X\mid |i(x-x_0)|<\varepsilon\}=\{x\in X\mid |i(x)-i(x_0)|<\varepsilon\}$$ es una subbase para ambos. Por lo tanto, las siguientes definiciones son equivalentes.

1. Dejemos que $X$ sea un espacio normado y sea $X^*$ sea el dual de $X$ . El topología débil en $X$ es la topología generada en $X$ por la familia $\{p_{x^*}\}_{{x^*}\in X^*}$ de seminormas definidas por $p_{x^*}(x)=|x^*(x)|$ .

2. Dejemos que $X$ sea un espacio normado y sea $X^*$ sea el dual de $X$ . El topología débil en $X$ es la topología generada por los conjuntos de la forma $f^{-1}(A)$ , donde $f\in X^*$ et $A$ está abierto en $\mathbb K$ .

Dado que la topología de la imagen inversa generada por $\mathcal{F}$ es la topología más débil con respecto a la cual todos los miembros de $\mathcal{F}$ son continuas (véanse las páginas 93 y 94 de Bachman ), estas dos definiciones también son equivalentes a las siguientes.

3. Dejemos que $X$ sea un espacio normado. El topología débil en $X$ es la topología más débil en $X$ con respecto a la cual todos los funcionales lineales acotados en $X$ son continuos.