La Integral de una Función Armónica

Question

Demostrar que:

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|re^{i\theta} - z_0|d\theta = \begin{cases} \log|z_0| & if & |z_0| &lt r \\ \log|r| & if & |z_0| > r \end{casos}.$$

Sé $\log|z|$ es una función armónica en el plano de la rendija, ya que es la parte real de la analítica de la función $\log(z)$ sobre el plano de la rendija. Lo que no entiendo es que para $|z_0| > r$ esta integral es exactamente el promedio de una función armónica a lo largo del borde de un disco sobre el que $\log|z|$ es armónica, de modo que la Media del Valor de la Propiedad debe ser igual a $\log|z_0|$, sin embargo, se supone que debe de ser $\log|r|$. ¿Qué está pasando?

Answer 1

Es el valor promedio de $\log|rz - z_0|$ sobre el círculo unidad $|z| = 1$. Si $|z_0| > r$, la función es armónica en todo el interior del círculo y es continua en el límite. Así que por el valor medio teorema este valor medio es el valor de la función en el centro $z = 0$, es decir,$\log|z_0|$.

En el caso de que $|z_0| &lt r$, ya que el $|re^{i\theta} - z_0| = |r - z_0e^{-i\theta}|$, su integral es el mismo $${1 \over 2\pi}\int_0^{2\pi} \log|r - z_0e^{-i\theta}|\,d\theta$$ El cambio de las variables de$\theta$$-\theta$, esto equivale a $${1 \over 2\pi}\int_0^{2\pi} \log|r - z_0e^{i\theta}|\,d\theta$$ Ahora tenemos el valor promedio de la función $\log|r - z_0z|$ sobre el círculo unidad, y desde $|z_0| &lt r$ esta función es armónica en el interior del círculo y continua en el límite. Por lo tanto el valor promedio es de que en el origen, es decir,$\log|r|$.

(Nota: como algunos comentaristas mencionó que tiene los valores invertidos).