Problema de teoría de conjuntos elemental - Obtengo un resultado incorrecto

Question

El problema que se plantea es el siguiente:

$\bigcap_{i \in I}(A_i \cup B_i)$ y $(\bigcap_{i \in I}A_i) \cup(\bigcap_{i \in I}B_i)$

Me preguntan si son lo mismo. Este es el razonamiento que he utilizado:

para el primero: $\forall x(\forall i \in I(x \in A_i \vee x \in B_i))$

para el segundo: $\forall x(\forall i \in I(x \in A_i) \vee \forall i \in I(x \in B_i))$

Y utilizando esto para dos familias de conjuntos:

$A_2 = \{2, 4\}, A_3 = \{3, 6\}$

$B_2 = \{2, 3\}, B_3 = \{3, 4\}$

No puedo obtener los resultados adecuados que son:

$\bigcap_{i \in I}(A_i \cup B_i)$ = $\{3, 4\}$

$(\bigcap_{i \in I}A_i) \cup(\bigcap_{i \in I}B_i)$ = $\{3\}$

Lo que entiendo es que ambos contienen todos los elementos y son iguales, ¿en qué me equivoco?

Answer 1

Veamos:

$$(A_2\cup B_2)\cap (A_3\cup B_3)=\{2,3,4\}\cap\{3,4,6\}=\{3,4\}$$

$$(A_2\cap A_3)\cup(B_2\cap B_3)=\emptyset\cup\{3\}=\{3\}$$

Answer 2

Como demuestra tu contraejemplo, los conjuntos no son iguales. Sólo tienes esto: $$\bigcap_{i\in I}(A_i\cup B_i)\supseteq\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)\cup\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)$$

Pero si $\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right)\cap \left(\bigcup_{i\in I} B_i\right)=\emptyset$ entonces la otra inclusión también es cierta.

Esto se debe a que por cada $x\in \bigcap_{i\in I}(A_i\cup B_i)$ , $x$ es el éter en cada $A_i$ o cada $B_i$ .

Answer 3

Bueno como primero te olvidaste de la intersección Podrías razonar así para el primer conjunto $\forall x((x \in A_1 \lor x \in B_1)\land (x \in A_2 \lor x \in B_2)\land\dots\land (x \in A_i \lor x \in B_i))$
Para la segunda serie $\forall x((x \in A_1 \land x \in A_2 \land \dots\land x\in A_i)\lor (x \in B_1 \land x \in B_2 \land \dots\land x\in B_i)\\ p_k=\tau(x \in A_k)\\q_k =\tau(x \in B_k)\\k \in I\\((p_1\lor q_1)\land(p_2\lor q_2)\land\dots\land(p_i\lor q_i))\iff (p_1\land p_2\land\dots\land p_i)\lor(q_1\land q_2\land\dots\land q_i)$ Transformando esto a la lógica ahora es bastante fácil demostrar que no son lo mismo, tomando $p_1=\top \land q_2,q_3,\dots q_i=\top$ La primera es verdadera mientras que la segunda es falsa por lo que no es una tautología No estoy seguro de que esto sea lo que querías.