La varianza de una distribución del producto en sí

Question

Tengo una distribución $X$. Por jugar con muestras aleatorias de $X$, he llegado a la conclusión de que $Var(X^i) > Var(X)$ donde $i > 1$. Sin embargo, me parece que no puede encontrar una fórmula para el valor esperado de la varianza de $X^i$, o por qué debe ser mayor que $Var(X)$.

Alejándose de las distribuciones normales, debe generalizar que el parámetro de escala de cualquier $X^i$ será mayor que $X$?

Answer 1

Nota rápida, usted puede encontrar útil la discusión de por qué la fórmula para la estimación de la desviación estándar para una muestra de los usos $n-1$ frente al $n$.

• Pablo Salado por Qué dividir por (n-1) para la desviación estándar de la muestra
• Graphpad ¿por Qué utilizar n-1 a la hora de calcular la desviación estándar?
• Andrew Hardwick, ¿por Qué hay un signo Menos Uno en Desviaciones Estándar

Answer 2

$Var(X^i)$ = $\mathbb{E}[(X^i - \mathbb{E}[X^i])^2]$ = $\mathbb{E}[X^{2i}] - (\mathbb{E}[X^i])^2$ por definición. De esta manera se expresa la variación de $X^i$ en términos de momentos de $X$.

La generalización es falsa, porque $\mathbb{E}[(\lambda X)^{2i}]$ = $|\lambda|^{2i}\mathbb{E}[X^{2i}]$ implica que el parámetro de escala de la $(\lambda X)^i$ será menor que el parámetro de escala de la $\lambda X$ al $\lambda$ es lo suficientemente cercano a cero y $i \gt 1$.