Ejemplos de grupos con un cierto número de Sylow 2-subgrupos de

Question

Deje $G$ ser un grupo de 50 de orden y $m$ el número de Sylow 2-subgrupos de $G$. ¿Cuáles son los posibles valores de $m$? Para cada valor de la lista, dar un ejemplo de un grupo de $G$ que $m$ toma ese valor.

Por Sylow del Teorema no tiene $m\equiv1$ (mod 2), por lo que los valores posibles son 1, 2, 3, 5, etc. Pero $m\mid |G|$, es decir, $m$ divide 50. Esto reduce nuestra lista para 1, 5 y 25.

Para $m=1$ no es el grupo cíclico $\mathbb Z/50\mathbb Z$, ya que el 25 es el único elemento de orden 2.
Para $m=25$ hay $D_{2m}$ el diedro grupo de 50 de orden, porque tenemos 25 reflexiones y ninguna de las rotaciones pueden ser de orden 2 desde el 25 es impar.

Pero me parece que no puede encontrar un ejemplo para $m=5$. Alguna pista?

Answer 1

$G=\mathbb{Z}_5\times D_{10}$. $D_{10}$ tiene cinco diferentes elementos de orden $2$, y estos vinculado con la identidad de $\mathbb{Z}_5$ dar $5$ distintos elementos de orden $2$$G$, lo que dará $5$ distintos Sylow $2$-subgrupos.