Quinto grado de los polinomios en general no pueden ser resueltos analíticamente, pero al menos una solución siempre existe. Dada la forma normal $$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,$$ es posible encontrar condiciones suficientes en $a,b,c,d,e,f$, lo que garantiza una solución única?
Una condición suficiente es, obviamente,$a,b,c,d,e>0$, de modo que el lado izquierdo de la ecuación anterior es estrictamente creciente en a $x$. En mi caso, los coeficientes son funciones de varios valores de los parámetros, por lo que el$a,c,e>0$$b,d<0$, mientras que $f\lessgtr0$ es ambiguo (depende de los valores de parámetro).
Mi quinto grado del polinomio no siempre es estrictamente creciente debido a $b,d<0$, pero aún así la solución es a menudo único, como el siguiente ejemplo numérico muestra:
Yo podría "probar" para este ejemplo que la solución es única, tomando la derivada (un cuarto de grado del polinomio), la búsqueda de los máximos y mínimos locales, y verificar que la función de las cruces 0 sólo una vez entre los extremos o entre los extremos y $-\infty,\infty$. Pero tenía la esperanza de que había una forma más sencilla y de manera más general.
Por otra parte, mi quinto grado del polinomio es estrictamente creciente para algunos valores de los parámetros a pesar de $b,d<0$. Existe una mejor manera de averiguar si este es el caso de la computación de la derivada y la determinación de si $$5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e>0~\forall x\in\mathbb{R}?$$
