¿Cómo puedo calcular el ángulo de un corte de una elipse?

Question

Estoy intentando dibujar un gráfico circular mediante programación, utilizando una elipse en lugar de un círculo, pero tengo problemas para calcular los ángulos correctos de las porciones. Si fuera un círculo, podría utilizar el porcentaje que representa la rebanada multiplicado por $360$ grados para obtener los ángulos precisos creados por los cortes.

Supongamos que se conoce lo siguiente sobre una elipse centrada en el origen con un corte $s$ :

1. radios $a$ y $b$
2. el porcentaje de la superficie que se corta $s$ representa
3. ángulo $\theta_1$ que es el ángulo desde $0$ grados al principio del primer borde de la rebanada (moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj).

¿Cómo se calcula el ángulo que la rebanada $s$ crea desde el centro de la elipse?

Nota: Esencialmente, necesitaría encontrar $\theta_2$ o el ángulo de la rebanada sombreada en amarillo representado en esta pregunta :

Answer 1

El proceso dado por Rahul Narain en la pregunta que enlazas da justo lo que quieres cuando se invierte. Dejemos que $\theta_1$ y $\theta_2$ sea como se muestra. Sugiere escalar la elipse verticalmente por un factor $\frac ab$ para que sea un círculo. Si $p_1$ tiene coordenadas $(p_{1x},p_{1y})$ su imagen $r_1$ tendrá coordenadas $(p_{1x},\frac abp_{1y})$ . Del mismo modo, la imagen de $p_2$ tendrá coordenadas $(p_{2x},\frac abp_{2y})$ . La imagen de $\theta_1$ es entonces $\phi_1=\arctan \frac {ap_{1y}}{bp_{1x}}=\arctan [\frac ab \tan \theta_1$ ] y la imagen de $\theta_2$ es entonces $\phi_2=\arctan \frac {ap_{2y}}{bp_{2x}}=\arctan [\frac ab \tan \theta_2]$ . Usted está pidiendo que $\frac {\phi_2-\phi_1}{2\pi}=a$ la fracción del círculo que representa la rebanada o $\phi_2=2a\pi+\phi_1$ . Así que $\theta_2=\arctan [\frac ba \tan \phi_2]=2a\pi+\arctan [\frac ba \tan \phi_1]$