Despejando <x id="1712"/>tenemos

Question

$$\sqrt{k-\sqrt{k+x}}-x = 0$$

Resolver para $k$ en términos de $x$

Tengo todo el camino a $$x^{4}-2kx^{2}-x+k^{2}-x^{2}$$ pero no podía factor de después. Mi maestro mencionó que no fue la agrupación de los involucrados

Gracias Chicos!

Edit 1 : El problema exacto se resuelve $x$ que $$\sqrt{4-\sqrt{4+x}}-x = 0$$, con una sugerencia de sustituir 4 con k

Answer 1

Como se descubrió $\sqrt{k - \sqrt{k+x}} = x$ conduce a la ecuación de $k^2 - (2 \, x^2 + 1) \, k + (x^4 - x) = 0$. Ahora, \begin{align} k &= \frac{1}{2} \, \left[(2 \, x^2 + 1) \pm \sqrt{ (2 \, x^2 + 1)^2 - 4 \, (x^4 - x) } \right] \\ &= \frac{1}{2} \, [(2 \, x^2 + 1) \pm (2 x + 1)] \\ &= \begin{cases}{ x^2 + x + 1 = \frac{1 - x^3}{1-x} \\ x(x-1) } \end{casos} \end{align}

Answer 2

En este tipo de problema, tienes que ser muy cuidadoso acerca del dominio de definición. El cuadrado de la ecuación de una encontrar un equivalente ecuaciones polinómicas no es suficiente, es necesario verificar si las soluciones son eficaces soluciones de la ecuación original.

Primeros dos comentarios :

• $x=\sqrt{\cdots}\quad$ $x\ge 0$
• Si $k<0$ $k-\sqrt{k+x}<0$ y no podemos tomar la raíz cuadrada de este, por lo $k\ge 0$

En particular: con $x\ge 0$ $k\ge 0$

• $\sqrt{x+k}$ también está bien definido
• $\sqrt{(x+a)^2}=x+a$ cualquier $a\ge 0$, vamos a utilizar esa propiedad más tarde.

La ecuación al cuadrado dos veces se convierte en $(x^2-k)^2=x+k$

$\iff k^2-k(2x^2+1)+(x^4-x)=0$

con $\Delta=(2x^2+1)^2-4(x^4-x)=(2x+1)^2$

Por lo $k=\frac 12(2x^2+1\pm(2x+1))=x(x-1)$ o $(x^2+x+1)$

Vamos a ningún sustituto de vuelta en el problema original para eliminar los superfluos soluciones.

• $k=x(x-1)$

$\sqrt{k-\sqrt{k+x}}=\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2}}=\sqrt{x^2-x-x}=\sqrt{x^2-2x}$

Esto puede ser igual a $x$ si y sólo si $x=0\qquad$ [$x^2-2x=x^2\iff x=0$]

• $k=x^2+x+1$

$\sqrt{k-\sqrt{k+x}}=\sqrt{x^2+x+1-\sqrt{(x+1)^2}}=\sqrt{x^2+x+1-(x+1)}=\sqrt{x^2}=x$

Así que la ecuación es siempre verificada

Finalmente, las soluciones se $(0,0)$ $(x\ge 0,k=x^2+x+1)$

Answer 3

(Demasiado largo para un comentario.)

Como @Leucippus ha demostrado, que las soluciones son

$$k \quad=\quad x^2 + x + 1 \qquad\text{or}\qquad x^2 - x$$

Por lo tanto, $$k + x \quad=\quad (x+1)^2 \qquad\text{or}\qquad x^2$$ así que $$\sqrt{k+x} \quad=\quad |x+1| \qquad\text{or}\qquad |x|$$ Además, $$k - \sqrt{k+x} \quad=\quad x^2+x+1 - |x+1| \qquad\text{or}\qquad x^2-x-|x|$$ Para nosotros conseguir los cuadrados perfectos que nosotros sabemos que nos necesita, se requiere, en el primer caso, que $|x+1| = x+1$ (es decir, $x \geq -1$); en el segundo caso, $|x| = -x$ (es decir, $x\leq 0$). Estos causan las expresiones anteriores para reducir a $x^2$. A partir de ahí ... $$\sqrt{k- \sqrt{k+x}}-x = \sqrt{x^2} - x = |x| - x$$ Para que esto se desvanecen, debemos tener $x \geq 0$. Así, las restricciones anteriores no fueron suficientes; por el contrario, tenemos $$k = \begin{cases} x^2 + x + 1 &, \text{for}\;x \geq 0 \\ x^2 - x &, \text{for}\; x = 0\end{casos}$$

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Por cierto, las soluciones que nos dicen que nos podría haber factorizado el polinomio expandido ecuación como $$k^2 - 2 k x^2 + x^4 - k - x = 0 \qquad\to\qquad( k - x^2 - x - 1 )( k - x^2 + x ) = 0$$ Yo no estoy viendo un "obvio" que la agrupación que he me ha llevado allí. Creo que me he saltado derecho a la Fórmula Cuadrática y permitido a mí mismo para ser gratamente sorprendido de que la raíz cuadrada se fue.

Answer 4

Deje $\sqrt{k+x}=y$ donde $y\geq0$.

Por lo tanto, $\sqrt{k-y}=x$ donde $x\geq0$ y tenemos el siguiente sistema. $$k+x=y^2$$ y $$k-y=x^2,$$ lo que da $$x+y=y^2-x^2$$ o $$(x+y)(1+x-y)=0.$$ Si $x+y=0$, $x=y=k=0$ lo contrario, $y=1+x$$k=x^2+x+1$.

Id est, nos dieron la siguiente respuesta.

Si $x<0$, entonces la ecuación no tiene raíces;

Si $x=0$$\{0,1\}$;

Si $x>0$$\{x^2+x+1\}$.