Deducir una distribución de probabilidad a partir de su función generadora de momentos

Question

Es bastante trivial obtener una función generadora de momentos a partir de una p.d.f. (siempre que $\sum e^{tx}f(x)$ no sea demasiado difícil de evaluar), pero dado que las funciones generadoras de momentos determinan de forma única una función de distribución de probabilidad, ¿hay alguna manera de "generar" de nuevo la p.d.f a partir de la m.g.f.?

Editar: Estoy hablando de una distribución discreta.

Answer 1

La pregunta es invertir una transformación Laplace/Fourier. Tomo el ejemplo de una distribución discreta $f(n)$ en los números naturales con función generadora de momentos $$M(t) = \sum_{n=0}^\infty f(n)e^{nt}$$ con radio de convergencia $R \geq 1$. La inversión de Fourier aquí es $$f(n) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}M(i\theta)e^{-in\theta}\,d\theta$$

Si prefieres mantenerte en el mundo real, hay una interesante fórmula debida a Post.

Una fórmula relacionada sería: $$f(n) = \left.\frac{d^n}{dt^n}M(\log t)\right|_{t=0}$$

Answer 2

Sé que esta pregunta es antigua, pero todas las respuestas proporcionadas hasta ahora solo trataron los casos de variables continuas. En la edición, @user54609 afirma que estaba preguntando cómo obtener la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, y para ese caso, la respuesta es sorprendentemente simple.

La única diferencia es que es más fácil hacer lo que quieres usando la función característica $G(s)$, en lugar de la función generadora de momentos $E[e^{tx}]$. Es fácil convertir entre ellos al observar la definición de $G(s):

$$G(s) = \sum_{n=0}^{+\infty}p(n)s^{n}$$ donde $n$ es la variable aleatoria discreta, y $p(n)$ es su distribución de probabilidad. Por lo tanto, puedes convertir entre $G$ y la f.g.m. estableciendo $s=e^{t}$.

Ahora, supongamos que conocemos $G(s)$ pero no $p(n)$, y queremos averiguar la forma funcional de $p(n)$ usando lo que sabemos sobre $G(s)$. La forma de hacerlo es evaluando las derivadas de $G(s)$ en $s=0$ como:

$$p(n)=\frac{1}{n!}\left.\frac{d^{n} G(s)}{d s^{n}}\right|_{s=0}$$

Por ejemplo, la función característica de una variable aleatoria distribuida de forma Poisson es $G(s)=e^{\lambda(s-1)}$. Podemos recuperar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson $n$ como

$$\frac{1}{n!}\left.\frac{d^{n} G(s)}{d s^{n}}\right|_{s=0}=\left.\frac{\lambda^{n}}{n!}e^{(s-1)\lambda}\right|_{s=0} = \frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda} = p(n)$$

Puedes probar esto con otros ejemplos de distribuciones, como la Binomial, cuya función característica es $G(s)=\left[1+(s-1)p\right]^{N}$ para ganar confianza en el método, pero funciona para todas las variables aleatorias discretas.

Answer 3

Sea $\mathcal{M}(g)(s) = \int_0^{\infty} x^{s-1} g(x) dx$ la transformada de Mellin; entonces la función generadora de momentos de una p.d.f suficientemente suave $f$ está dada por $\mathcal{M}(f(-\log(x))(-s)$;

así que dada una función generadora de momentos lo suficientemente buena $h(s) = E[e^{sX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{sx} f(x) dx$, recuperamos $f$ como $$f(x) = \mathcal{M}^{-1}(h(-s))(-e^x)$$ donde $\mathcal{M}^{-1}$ está dada por el teorema de inversión de Mellin: $$\mathcal{M}^{-1}h(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c - i\infty}^{c + i \infty} x^{-s} h(s) ds$$ para un número real apropiado $c$, donde la integral se entiende que es a lo largo de una línea en $\mathbb{C}$.

Answer 4

Sí, puedes. Primero, convierte tu mgf en una función característica (es decir, reemplaza $t \rightarrow it$). Luego, invierte la función característica para obtener la pdf utilizando una transformada de Fourier inversa.

Answer 5

El logaritmo de la función generadora de momentos es conocido como la función generadora de cumulantes, y puede ser utilizada para obtener aproximaciones bastante buenas de la función de densidad original (o función de masa de probabilidad) a través de lo que se conoce como aproximación de la espícula, que puede ser sorprendentemente buena. Para una exposición y ejemplos consulte https://stats.stackexchange.com/questions/191492/how-does-saddlepoint-approximation-work/191781#191781