Trabajar con exponentes grandes

Question

Estoy tratando de entender las intuiciones que hay detrás de trabajar con números muy grandes. En concreto, me refiero a números de la forma $a^b$ donde $a > 10,000$ et $b > 10,000$ y en general $a$ et $b$ son pequeños, pero $a^b$ tiene millones de dígitos. Obviamente, calcular el número es inviable, pero aun así me gustaría determinar cosas sobre ellos.

Me interesan especialmente las ideas o reglas para evaluar cuál de dos números grandes es mayor. Creo que quiero usar logaritmos de alguna manera, pero siempre me han confundido un poco, así que no veo muy bien hacia dónde ir.

En términos más generales, me encantaría escuchar una discusión más genérica sobre cómo se puede trabajar con números tan grandes fácilmente, sacrificando la precisión, pero no la exactitud.

Answer 1

Como los logaritmos son monótonamente crecientes, se puede determinar si $$a^b > c^d$$ comprobando en su lugar si $$\log(a^b) > \log(c^d)$$ que puede reescribirse (utilizando las propiedades básicas de los logaritmos) como $$b\log(a) > d\log(c)$$ El resultado es la comparación de dos números del orden de los dados en la entrada (es decir, ambos números estarán dentro de un orden de magnitud más o menos de $a,b,c,d$ ), lo que sin duda es factible en un ordenador.

También puedes utilizar los logaritmos para calcular otras propiedades, siempre que te acuerdes de volver a convertir tu solución a los números originales (mediante una exponencial) cuando hayas terminado. Por ejemplo, para calcular si $${a_1}^{b_1}{a_2}^{b_2} > {c_1}^{d_1}{c_2}^{d_2}$$ se puede tomar el logaritmo de ambos lados para obtener \begin{align} \log({a_1}^{b_1}{a_2}^{b_2}) &> \log({c_1}^{d_1}{c_2}^{d_2}) \\ \log({a_1}^{b_1}) + \log({a_2}^{b_2}) &> \log({c_1}^{d_1}) + log({c_2}^{d_2}) \\ b_1\log(a_1) + b_2\log(a_2) &> d_1\log(c_1) + d_2\log(c_2) \\ \end{align}

que también es factible desde el punto de vista computacional.

Answer 2

$a^b>c^d (1)$

$a,b,c,d > 10000 (2)$

(1) también puede ser cierta si ambas partes de la desigualdad se elevan en la potencia de $\frac{1}{d}$

$ a^{\frac{b}{d}} > c (3)$

Es más fácil calcular $ a^{\frac{b}{d}} $ que $ a^b $