La suma de los tres primeros términos de una secuencia aritmética es $24$ y la suma de los tres términos siguientes es $51$ . Encuentra el primer término y la diferencia común.
Esto es lo que hice:
A continuación he enumerado los seis términos. Los tres primeros suman $24$ pero los tres siguientes no suman $51$ . ¿Qué estoy haciendo mal?
Según la pregunta dada:
La suma de los tres primeros términos es $24$ Así que..:
$$a+(a+d)+(a+2d)=24$$
$$3a+3d=24$$
$$a+d=8\cdots(1)$$
Y la suma de los tres términos siguientes es $51$ Así que..: $$(a+3d)+(a+4d)+(a+5d)=51$$
$$3a+12d=51$$
$$a+4d=17\cdots(2)$$
Sobre la resolución de la ecuación $(1)$ y $(2)$ obtenemos el primer término $a=5$ y la diferencia común $d=3$ .
La serie AP es $:5, 8, 11, 14, 17, 20, \cdots$
Una forma rápida de ver la diferencia común $d$ mentalmente. La diferencia entre el término $n$ y el término $n+3$ es $3d$ . Así que la diferencia entre esas dos sumas te da:
$3(3d) = 51 - 24$
$d = 3$
A partir de ahí, deberías ser capaz de calcular el primer término muy fácilmente. Utiliza el hecho de que la suma de los tres primeros términos es $a + a + d + a + 2d = 3(a+d) = 24$ , dando $a = 5$ .
Con menos álgebra: La suma de la primera $3$ términos de su secuencia es $3$ veces el media término que, convenientemente, es sólo la del medio. Es decir, el segundo el término debe ser $\frac{24}{3} = 8$ .
Del mismo modo, el quinto plazo (medio de los tres siguientes) es $\frac{51}{3}=17$ .
En los tres pasos entre el segundo y el quinto plazo, el aumento ha sido $17-8=9$ así que el tamaño del paso es un tercio de eso, es decir, $3$ .
Como ya sabemos que el segundo término es $8$ la secuencia debe ser $$5,8,11,14,17,20,\ldots $$
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