$S_n = x_1^3+x_2^3+ \cdots +x_n^3$ cuadrados perfectos

Question

Se considera progresión aritmética $x_1,x_2, \cdots, x_n,\cdots, x_1 \neq0$ . Demuestre que si las sumas $$S_n = x_1^3+x_2^3+ \cdots +x_n^3$$ es plazas perfecto para cualquier $n \in N$ entonces hay $k\in N^*$ así que $x_n=nk^2$ para cualquier $n \in N$ . Todos mis intentos fueron infructuosos.

Answer 1

No estoy seguro de si esto ayuda, pero tenga en cuenta que $$\sum_{m=1}^{n}{m^3}={(\frac{n(n+1)}2)^2}$$ Configuración $x_i=nk^2$ obtenemos $$S_n=\sum_{m=1}^{n}{(mk^2)^3}= k^6\sum_{m=1}^{n}{m^3}={(\frac{k^3n(n+1)}2)^2}$$ Sin embargo, esto no es más que lo contrario. No tengo ni idea de cómo proceder para la dirección hacia adelante.