Demostrar que $Y$ es Hausdorff iff $X$ es Hausdorff y $A$ es un subconjunto cerrado de $X$

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y $A$ un subconjunto de a $X$. En $X\times\{0,1\}$ definir la partición compuesto de los pares de $\{(a,0),(a,1)\}$$a\in A$, y de los singletons $\{(x,i)\}$ si $x\in X\setminus A$$i \in \{0,1\}$.

Vamos a R a ser la relación de equivalencia definida por esta partición, vamos Y como el cociente del espacio de $[X \times \{0,1\}]/R$ y deje $p:X \times \{0,1\} \to Y$ ser el cociente mapa.

(a) Demostrar que existe un mapa continuo $f:Y \to X$ tal que $f \circ p(x,i)=x$ por cada $x\in X$$i \in \{0,1\}$.

(b) Demostrar que S es Hausdorff si y solo si X es Hausdorff y Un subconjunto cerrado de X.

Hasta ahora he hecho la parte (a), pero estoy luchando con la parte (b). Estoy pensando que voy a tener que usar el hecho de que si un cociente del espacio de $Z/R$ es Hausdorff, entonces la gráfica de la relación de equivalencia en $Z \times Z$ es cerrado. Sin embargo, no soy positivo. Si alguien pudiera incluso me a empezar en algún lugar de esta pregunta se lo agradecería, gracias.

Answer 1

Sugerencias: Que en realidad no debería ser demasiado difícil ir a través de la prueba con la mano sin depender de otros teoremas.

• ($\Rightarrow$) Si $X$ no es Hausdorff, entonces hay distintos puntos de $x , y \in X$ que no puede ser separada. Mostrar que $p ( x , 0 ) , p ( y , 0 )$ no pueden ser separadas en $Y$. Si $A \subseteq X$ no está cerrado, deje $x \in \overline{A} \setminus A$. Demostrar que los puntos a $p ( x , 0 ) , p ( x , 1 )$ (que son distintos) no pueden ser separadas en $Y$.
• ( $\Leftarrow$ ), Esto debe ser sólo el trabajo a través de los casos. En primer lugar observamos que si $x , y \in X$ son distintos, entonces pueden ser separados por bloques abiertos en $X$, y no es demasiado difícil separar $p ( x , i ) , p ( y , j )$ cualquier $i,j \in \{ 0 , 1 \}$. Así que la verdadera dificultad estará en la separación de $p ( x , 0 ) , p ( x , 1 )$$x \in X$. Pero tenga en cuenta que sólo tenemos que preocuparnos por este al $p ( x , 0 ) \neq p ( x , 1 )$. Cuando sucede esto? (Las opciones obvias para abrir los conjuntos saltan a la vista.)

Answer 2

El enfoque que proponemos es un hecho razonable. Deje $Z=X\times\{0,1\}$ donde $\{0,1\}$ tiene la topología discreta. Deje $E$ ser la relación de equivalencia, considerado como un subconjunto de a $Z\times Z$. Ahora consideremos un punto de $p=\big\langle\langle x,i\rangle,\langle y,j\rangle\big\rangle\in E$; ¿qué $p$ parecen realmente? Claramente debemos tener $x=y$. Si $x=y\in A$, $i$ y $j$ puede tanto ser $0$ o $1$, pero si $x=y\in X\setminus A$, entonces tenemos que tener en $i=j$. Por lo tanto,

$$p\in E\quad\text{ iff }\quad x=y\,\text{ and }\,(x\in A\text{ or }i=j)\;.$$

Más útil,

$$p\in(Z\times Z)\setminus E\quad\text{ iff }\quad x\ne y\,\text{ or }\,(x\in X\setminus A\text{ and }i\ne j)\;:$$

usted puede usar esto y la definición de la topología producto en $Z\times Z$ que $(Z\times Z)\setminus E$ está abierto (y, por tanto, $E$ es cerrado) iff $X$ es Hausdorff y $A$ es cerrado.

Answer 3

Sugerencia: Muestre que $p$ es un perfecto mapa, que es un continuo cerrado surjection tal que $p^{-1}(y)$ es compacto para cada una de las $y\in Y$. Estos mapas de preservar todas las propiedades de $X$ entre los que también es Hausdorff'ness.

Aquí es una prueba perfecta de los mapas de preservar $T_2$: Si $y$ $z$ son distintos puntos en $Y$, $f^{-1}(y)$ $f^{-1}(z)$ son disjuntas compacto establece que por $T_2$ pueden ser separados por distintos abrir barrios. $U,V$. La inconexión abrir los barrios alrededor de $y$ $z$ puede ser obtenida por la toma de los complementos de $p(X\backslash U)$$p(X\backslash V)$$Y$.

Yo voy a dejar a usted para mostrar que $p$ es perfecto, que debería ser muy fácil.

Edit: El closedness de la gráfica de $R$ no es suficiente, es sólo condición necesaria para $Y$ a ser Hausdorff. Si el cociente mapa de $p$ es abierto, entonces closedness $R$ es suficiente. Otro enfoque sería mostrar la compacidad de $R$, ya que esto hace que $p$ un perfecto mapa, véase también el Producto del cociente mapa de un cociente mapa cuando el dominio es compacto Hausdorff?