Deje $X$ ser un espacio topológico y $A$ un subconjunto de a $X$. En $X\times\{0,1\}$ definir la partición compuesto de los pares de $\{(a,0),(a,1)\}$$a\in A$, y de los singletons $\{(x,i)\}$ si $x\in X\setminus A$$i \in \{0,1\}$.
Vamos a R a ser la relación de equivalencia definida por esta partición, vamos Y como el cociente del espacio de $[X \times \{0,1\}]/R$ y deje $p:X \times \{0,1\} \to Y$ ser el cociente mapa.
(a) Demostrar que existe un mapa continuo $f:Y \to X$ tal que $f \circ p(x,i)=x$ por cada $x\in X$$i \in \{0,1\}$.
(b) Demostrar que S es Hausdorff si y solo si X es Hausdorff y Un subconjunto cerrado de X.
Hasta ahora he hecho la parte (a), pero estoy luchando con la parte (b). Estoy pensando que voy a tener que usar el hecho de que si un cociente del espacio de $Z/R$ es Hausdorff, entonces la gráfica de la relación de equivalencia en $Z \times Z$ es cerrado. Sin embargo, no soy positivo. Si alguien pudiera incluso me a empezar en algún lugar de esta pregunta se lo agradecería, gracias.