La integración de $ \int ^ \pi_0 \frac {dx}{1+ \sin x}$

Question

$$ \int ^ \pi_0 \frac {dx}{1+ \sin x}$$ Multiplicando el numerador y el denominador por $ \sec x$ $$ \int ^ \pi_0 \frac { \sec x \ dx}{ \sec x+ \tan x}$$ A continuación, multipliqué el numerador y el denominador por $ \sec x+ \tan x$ que da $$ \int ^ \pi_0 \frac {( \sec ^2x+ \sec x \tan x)\ dx}{( \sec x+ \tan x)^2}$$ Haciendo la sustitución $t= \sec x+ \tan x$ y $dt=( \sec ^2x+ \sec x \tan x) \ dx$ se convierte en $$ \int ^{-1}_1 \frac {dt}{t^2}$$ Que es $$- \int ^{1}_{-1} \frac {dt}{t^2}$$ Lo que simplifica dar la respuesta como $2$ . Pero la respuesta dada es $1$ . ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Hay que tener un poco de cuidado al multiplicar el numerador y el denominador por $ \sec x$ o por $ \sec x+ \tan x$ porque estas expresiones no se definen en el medio del rango de integración, en $ \frac12\ ! \pi $ . Sin embargo, puedes escribir la integral como $$ \int_0 ^ \pi\frac { \mathrm d x}{1+ \sin x}= \lim_ { \varepsilon\to0 } \left ( \int_0 ^{ \frac12\pi - \varepsilon } \frac { \mathrm d x}{1+ \sin x}+ \int_ { \frac12\pi + \varepsilon }^ \pi\frac { \mathrm d x}{1+ \sin x} \right ),$$ y continuar desde allí. Su integral $ \int_ {-1}^1 \mathrm d t/t^2$ no está definido ( $1/t^2 \to\infty $ como $t \to0 $ ).

Una forma más simple de hacerlo es usando la simetría de la función para escribir el entero como $$ \int_0 ^ \pi\frac { \mathrm d x}{1+ \sin x}=2 \int_0 ^{ \frac12\pi } \frac { \mathrm d x}{1+ \sin x}=2 \int_0 ^{ \frac12\pi } \frac { \mathrm d x}{1+ \cos x}=2 \int_0 ^{ \frac14\pi } \frac { \mathrm d u}{ \cos ^2 u},$$ donde $x=2u$ . Esto entonces evalúa a $2[ \tan u]_0^{ \pi /4}=2.$

Answer 2

$0 \le \sin x \le 1$ para $0 \le x \le \pi $

$1 \le 1+ \sin x \le 2$

$ \frac 12 \le \frac {1}{1+ \sin x } \le 1$

$ \frac { \pi }2 \le \int_0 ^{ \pi } \frac {1}{1+ \sin x } dx \le \pi $

1 no puede estar bien.