Considere el siguiente teorema sobre las formulaciones equivalentes de ergodicidad. Deje que $S$ ser una medida que preserve el mapa en un espacio de medición $( \Omega , \mathfrak F, \mathbb P)$ y definir
$$ \nu_n (A, \omega ) = \sum_ {k=0}^{n-1} \mathbb I_{\{S^k \omega \in A\}}$$
Las siguientes declaraciones son equivalentes:
(1) $S$ es ergódica, es decir. $ \lim_ {n \mapsto \infty } \frac { \nu_n (A)}{n} = \mathbb P(A) \text { a.s.} \forall A \in \mathfrak F$
(2) S es transitivo métrico, es decir, para todos los eventos invariantes $A \in \mathfrak F$ es $ \mathbb P (A) \in \{0,1\}$
(3) $ \forall f \in L^1( \mathbb P ) : f^* = \text {const. a.s.}$ donde $f^*$ es el límite $ \frac {1}{n} \sum_ {k=0}^{n-1} f(S^k \omega ) \rightarrow f^*( \omega ) \text { a.s.}$
¿Cuál de las codiciones es más fácil de trabajar para probar la ergodicidad en la práctica, es decir, para un mapa explícitamente dado $S$ y una medida de espacio?
Por ejemplo, ¿cuál se aplicaría mejor para dar condiciones para cuando el mapa $$S(x)=(x+a) \mod b$$ en un espacio de medida $$([0,b), \mathfrak B([0,b)), \text {Uniform}([0,b))), a,b>0$$ es ergódica?
