De lo que he entendido, algebraica de toro es un algebraica de grupo definidas sobre un campo, el cual es isomorfo a ~algo~. Yo no puedo decir en base a las definiciones por debajo de lo que algo es exactamente.
- Se preguntaba si se podría escribir una definición formal de una expresión algebraica toro que explica algunos de los componentes de un poco más de detalle.
- Se pregunta cuál es el $\times$$\mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}$.
La Wikipedia uno (4) tiene un par de símbolos de notación no he visto antes. (3) algo de sentido, pero tiene un par de métodos de representación de los símbolos de nueva así. (2) proporciona algunos aspectos adicionales. (1) es corto, pero yo también no siguen la notación. (5) es el más cercano a hacer sentido.
(1) Vamos a $k$ ser un campo. Una expresión algebraica $k$-torus $T$ es una expresión algebraica $k$-grupo tal que más de un (fijo) separables cierre de $\bar{k}$ $k$ se convierte en isomorfo a un producto directo de la $d$ copias de el grupo multiplicativo:
$$T \times_k \bar{k} \approx \mathbb{G}^d_{m,\bar{k}}$$
(aquí se $d$ es la dimensión de la $T$).
(2) Fijar un campo de $k$, y deje $k_s$ ser un fijo separables cierre de $k$. Deje $\mathbb{A}^d$ denotar $d$-dimensional afín espacio y deje $\mathbb{G}_m$ denotar el grupo multiplicativo. Si $V$ es una variedad y $D$ es un conjunto finito, escribir
$$V^D := \bigoplus_{\delta\in D} V \approx V^{|D|}$$
Si $D$ es un grupo, entonces la $D$ actúa en $V^D$ por permuting los sumandos. Escribir
$$\mathbb{A}^D := (A^1)^D = \bigoplus_{\delta\in D}\mathbb{A}^1$$
Si $G$ es un grupo y $H$ es un subgrupo, definir una norma mapa de $\mathbf{N}_H : \mathbb{G}^G_m \to \mathbb{G}^{G/H}_m$ por
$$(\alpha g)_{g\in G} \mapsto (\prod_{\gamma \in gH} \alpha_\gamma)_{gH\in G/H}$$
y vamos a
$$\mathbb{T}_G := \ker[\mathbb{G}^G_m \overset{\oplus\mathbf{N}_H}{\longrightarrow} \bigoplus_{1\neq H \subseteq G} \mathbb{G}^{G/H}_m]$$
Una expresión algebraica torus $T$ ( $k$ ) es algebraica de grupo definido a lo largo del $k$ que es isomorfo $k_s$ $\mathbb{G}^d_m$donde $d$ es necesariamente la dimensión de $T$. Si $k \subseteq L \subseteq k_s$ $T$ es isomorfo a$\mathbb{G}^d_m$$L$, entonces uno dice que $L$ se divide $T$.
(3) denotamos por a $k^\ast$ el grupo multiplicativo de cero elementos de $k$ considera como una expresión algebraica grupo de más de $k$. Generalmente se denota por a $G_m$ y es el algebraico afín grupo $Spec(k[t, t^{−1}])$ dotado de la comultiplication $t \to t \otimes t$ sobre el anillo de coordenadas... algebraica de toro sobre $k$ algebraica de grupo $T$ isomorfo a un número finito producto directo de $k^\ast \times \dots \times k^\ast$.
(4) Una expresión algebraica toro es un tipo de conmutativa afín algebraica de grupo. Deje $F$ ser un campo con algebraicas cierre de ${\overline {F}}$. A continuación, una $F$- 'toro' es una expresión algebraica de grupo definido a lo largo del $F$ que es isomorfo ${\overline {F}}$ a de un número finito de producto de copias de la multiplicativo grupo. En otras palabras, si $\mathbf {T}$ $F$- grupo es un toro si y sólo si $\mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}$ algunos $r\geq 1$.
(5) Deje $G$ ser un grupo. Decimos que $G$ es un algebraica de grupo si $G$ es un cuasi-proyectiva variedad y los dos mapas de $m: G\times G \to G$ $i: G \to G$ donde $m$ es la multiplicación y la $i$ es la inversa del mapa, son morfismos.
El grupo $\mathbb{G}_m$$GL_1(K)$. Tenga en cuenta que, como grupo, $\mathbb{G}_m$ es el conjunto de unidades en $K$ bajo la multiplicación.
Deje $G$ ser una expresión algebraica de grupo. Si $G$ es afín, entonces decimos que el $G$ es un algebraicas lineales grupo. Si $G$ es proyectiva y conectado, entonces decimos que el $G$ es un abelian variedad.
El algebaic grupo $\mathbb{G}^k_m$ se llama un toro. Así que un toro en la geometría algebraica es solo un producto de copias de $\mathbb{G}_m$.
