Deje $P(x)=x^2 -1$. Averiguar el número de raíces reales distintas de $P(P(\cdots P(x))\cdots)=0$ donde hay $2018$ $P$.

Question

Deje $P(x)=x^2 -1$. Averiguar el número de raíces reales distintas de $P(P(\cdots P(x))\cdots)=0$ donde hay $2018$ $P$.
Mi Intento
Deje $Q(x)=P(P(\cdots P(x))\cdots)=0$ donde hay $2017$ $P$ es una raíz de $P(x)=0$. Por lo tanto $Q(x)=\pm1$. Pero a partir de este punto estoy perdido cómo proceder. Alguien puede ayudar. Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $a_n$ el número de raíces de la ecuación con $n P$'s. Ahora tenemos $a_1= 2$. y $a_2 =3$.

Por simplicidad, denotan $P_n$ con la ecuación de $n P$'s. Para $n \ge 2$, tenemos : $$ P_n^2 -1 = ((P_{n-2}^2-1)^2-1)^2 -1 = (P_{n-2}^2 -1)^2((P_{n-2}^2-1) -\sqrt{2})((P_{n-2}^2-1) + \sqrt{2}). $$ (Here $P_0(x) =x$).

Ahora, el primer factor tiene raíces $a_{n-2}$. El tercer factor no tiene raíces. Nos muestran que el segundo factor tiene 2 raíces. Deje $g_n(x)= P_{n-2}^2 - (\sqrt{2}+1)$.Pretendemos que las raíces se $$\pm \sqrt{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{\sqrt{2}+1~ (\text{n -1 times})}\cdots +1}+1}+1} .$$ Esto puede ser verificado por factorización y ver que tenemos una expresión de la forma $(g^2-1)^2 - b$ donde $b>1$, sólo el factor de $g^2 - (\sqrt{b}+1)$ sólo pueden raíz real en la factorización de la expresión.

Así tenemos a $a_n = a_{n-2}+2$. Por lo tanto la secuencia de números naturales. Así que la respuesta será, a continuación,$2017$.