Grupos de permutación como grupos de simetría de polinomios

Question

Hace poco vi una pregunta en un libro de texto, que pide demostrar que "El grupo de simetrías del polinomio $x_1x_2 + x_3x_4 + x_5x_6$ es un subgrupo de $S_6$ de orden $48$ ".

(Por el grupo de Simetrías de este polinomio, entendemos el estabilizador del polinomio $x_1x_2+x_3x_4+x_5x_6$ en la acción del grupo $S_6$ en $\mathbb{Z}[x_1,x_2,\cdots,x_6]$ dado por $\sigma.f(x_1,x_2,\cdots,x_6)=f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(6)})$ .)

A la vista de este ejercicio, me gustaría plantear la siguiente pregunta:

¿Es todo grupo finito realizable como el estabilizador completo de un polinomio sobre $\mathbb{Z}$ en un número determinado de indeterminados? Si es así, ¿cómo podemos construir ese polinomio?

Answer 1

Si $X$ es un gráfico, defina el polinomio $p_X$ para ser la suma de los monomios $x_ix_j$ , donde $ij$ pasa por encima de los bordes de $X$ . (El polinomio de la pregunta es el polinomio de una correspondencia perfecta.) Entonces el grupo de automorfismo de este polinomio (en el sentido definido anteriormente) es el grupo de automorfismo del grafo $X$ . Hace tiempo que se sabe que todo grupo finito es el grupo de automorfismo completo de un gráfico finito. Para conocer los antecedentes, véase el artículo de wikipedia sobre el teorema de Frucht.